TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 208

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Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel

\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,\mathrm dx = \ln \mid u(x) \mid + C

und berechne damit \int \frac{dx}{x \ln x}.

Hilfreiches[edit]

Substitutionsregel

\int f\bigl(u(x)\bigr)\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du mit u=u(x)   (Satz 5.41)

Lösung von alexxx[edit]

Substitution:

u(x) = t

dx = \frac{dt}{u'(x)}

Einsetzen:

\int\frac{u'(x)}{t*u'(x))}dt = \int\frac{dt}{t} = \ln|t| = \ln|u(x)| + C

QED

\int\frac{dx}{x \ln|x|} =

Substitution:

\ln|x| = t

dx = x dt

\int\frac{x dt}{x t} =\int\frac{dt}{t} =  \ln|t| = \ln|\ln|x|| + C

Lösungsvorschlag[edit]

f(x) = \frac{1}{x}

F(x) = \ln \left| x \right|

\begin{align}
\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,\mathrm dx
&= \int f(u(x)) \cdot u'(x)\,\mathrm dx \\
&= F(u(x)) + C \\
&= \ln \left| u(x) \right| + C
\end{align}

u(x) = \ln x, u'(x) = \frac{1}{x}

\begin{align}
\int \frac{dx}{x ln x} 
&= \int \frac{\frac{1}{x}}{\ln x}\,\mathrm dx \\
&= \int \frac{u'(x)}{u(x)}\,\mathrm dx \\
&= \ln \left| u(x) \right| + C \\
&= \ln \left| \ln x \right| + C
\end{align}

Links[edit]

Quelle[edit]

SS 08 Beispiel 26

Karigl Beispielsammlung SS06 Beispiel 52