TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 272

Man berechne:

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Me.Name

Dieses Integral ist nur an der Obergrenze($\mathrm{\infty }$) uneigentlich, deshalb muss keine Aufteilung gemacht werden. Den Majorantenspaß können wir uns auch schenken, da sich das Integral schön lösen lässt.

$\underset{1}{\overset{B}{\int }}\frac{\ln x}{x}dx$

mit Substitution:

$u=\ln x;\frac{du}{dx}=u^{\prime }=\frac{1}{x}\Rightarrow dx=\frac{du}{\frac{1}{x}}=xdu$

$\Rightarrow \underset{1}{\overset{B}{\int }}\frac{u}{x}\cdot x\cdot du=\underset{1}{\overset{B}{\int }}udu=$

$\underset{B\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{1}{\overset{B}{\int }}udu=\frac{u^2}{2}=\frac{(\ln x{)}^2}{2}{|}_1^B=\frac{(\ln (B){)}^2}{2}-\frac{(\ln (1){)}^2}{2}=\mathrm{\infty }-\frac{0}{2}=\mathrm{\infty }$

$\Rightarrow$ Divergent

-- Stampi 20:19, 19. Jun. 2012 (CEST) Fehler korrigiert