TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 272

Man berechne:

$\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {\ln {x}}{x}}dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Me.Name

Dieses Integral ist nur an der Obergrenze($\infty$) uneigentlich, deshalb muss keine Aufteilung gemacht werden. Den Majorantenspaß können wir uns auch schenken, da sich das Integral schön lösen lässt.

$\int \limits _{1}^{B}{\frac {\ln {x}}{x}}dx$

mit Substitution:

$u=\ln {x};{\frac {du}{dx}}=u'={\frac {1}{x}}\Rightarrow dx={\frac {du}{\frac {1}{x}}}=xdu$

$\Rightarrow \int \limits _{1}^{B}{\frac {u}{x}}\cdot x\cdot du=\int \limits _{1}^{B}udu=$

$\lim \limits _{B\to \infty }\int \limits _{1}^{B}udu={\frac {u^{2}}{2}}={\frac {(\ln {x})^{2}}{2}}|_{1}^{B}={\frac {(\ln {(B)})^{2}}{2}}-{\frac {(\ln {(1)})^{2}}{2}}=\infty -{\frac {0}{2}}=\infty$

$\Rightarrow$ Divergent

-- Stampi 20:19, 19. Jun. 2012 (CEST) Fehler korrigiert