TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 3

Gibt es eine Folge reeller Zahlen, die als Häufungspunkte genau alle rationalen Zahlen hat?

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Lösungsvorschlag

Dieses Beispiel ist von der Grundidee dasselbe wie Beispiel 1 und Beispiel 2. Somit gilt es lediglich eine Folge anzugeben, nicht darum, eine Formel oder ähnliches aufzustellen.

Nun stellt sich die Frage, ob es möglich ist, eine Folge mit allen rationalen Zahlen als Häufungspunkten aufzustellen. Aufgrund der Eigenschaft der rationalen Zahlen, dass sie abzählbar unendlich sind (siehe Cantors erstes Diagonalargument) sollte sich eine solche Folge konstruieren lassen. Diese könnte zum Beispiel so aussehen:

$a_{n}=\{0,1,-1,0,1,-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},0,1,-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},2,-2,0,1,-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},2,-2,3,-3,0,1,-1,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}},2,-2,3,-3,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},...\}$

Diese Folge wurde aus der aus Cantors ersten Diagonalargument hergeleiteten Bijektion zwischen den natürlichen Zahlen und den rationalen Zahlen, also der Abzählbarkeit derer, konstruiert.