TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 377

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f (x, y)$ im angegebenen Bereich:
$f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} + x + y + 1$ für $x, y \in ℝ$

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{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von Kujaku

Partielle Ableitungen

$f_{x} = 2 x + y + 1$

$f_{y} = 2 y + x + 1$

Mögliche Extrema/Sattelpunkte Zum Errechnen von möglichen Extrema, setzen wir $f_{x}$ und $f_{y}$ gleich 0.

$2 x + y + 1 = 0$

$x = \frac{- y - 1}{2}$

$2 y + x + 1 = 0$

$y = \frac{- x - 1}{2}$

nun setzen wir ein

$y = \frac{- \frac{- y - 1}{2} - 1}{2}$

$y = \frac{y + 1 - 2}{4}$

$4 y = y - 1$

$3 y = - 1$

$y = - \frac{1}{3}$

und errechnen damit x:

$x = \frac{\frac{1}{3} - 1}{2}$

$x = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

$x = - \frac{1}{3}$

Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Nun errechnen wir die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung für die Hessematrix:

$f_{x x} = 2$

$f_{x y} = f_{y x} = 1$

$f_{y y} = 2$

Hessematrix $H_{f} = | \begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix} | = 2 * 2 - 1 * 1 = 3$

$H_{f} > 0$

$f_{x x} > 0$

$⟹ (- \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$ ist ein relatives Minimum

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