TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 41

Man untersuche die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenfalls den Grenzwert.

$a_n=\frac{\frac{\sin n}{(n-2{)}^2}+\frac{n^2+2}{n^2-n}}{\frac{3n^2+2}{n^2+n}}$

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Lösungsvorschlag von Berti

Es müsste reichen, die Rechenregeln für Grenzwerte (Satz 4.14 bzw. 4.16 sowie der Trick aus Beispiel 4.17 aus dem Buch Mathematik für Informatik) anzuwenden. Die Untersuchung auf Konvergenz erfolgt indirekt, indem wir die Rechenregeln nicht blind anwenden sondern die Folgen evtl. umformen, sodass die Kriterien von Satz 4.14 und 4.16 auch erfüllt sind.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin n}{(n-2{)}^2}+\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+2}{n^2-n}}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+2}{n^2+n}}$

Hier nehmen wir Satz 4.16 Abs. (iv) zur Hand:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sin n}{(n-2{)}^2}=0$

Hier heben wir heraus, wodurch wir die Sätze 4.14 und 4.16 auf die ursprünglich uneigentlich konvergenten Folgen anwendbar machen (siehe Beispiel 4.17):

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2+2}{n^2-n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2(1+\frac{2}{n^2})}{n^2(1-\frac{1}{n})}=1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+2}{n^2+n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2(3+\frac{2}{n^2})}{n^2(1+\frac{1}{n})}=3$

Womit

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=\frac{1}{3}$

übrig bleibt.

-- Berti933 (Diskussion) 18:58, 24. Mär. 2015 (CET)