TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 95

Man zeige, dass die folgende Funktionenreihe im angegebenen Bereich konvergiert:

$\sum \limits _{n\geq 0}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}},\quad z\in \mathbb {C}$

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Hilfreiches

Quotientenkriterium

Wenn $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ divergent.   (Satz 4.52)

Lösungsvorschlag

von --Mario96 (Diskussion) 22:54, 8. Nov. 2017 (CET)

Wir setzten in das Quotientenkriterium ein und kürzen:

$\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\left|{\frac {\frac {z^{2(n+1)}}{(2(n+1))!}}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}}\right|={\frac {z^{2n+2}(2n)!}{z^{2n}(2n+2)!}}={\frac {z^{2}}{(2n+2)(2n+1)}}$

Um den Grenzwert zu berechnen heben wir die Konstante $|z^{2}|$ heraus:

${\begin{aligned}&\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {z^{2}}{(2n+2)(2n+1)}}\right|\\=&|z^{2}|\,\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {1}{(2n+2)(2n+1)}}\right|\\=&|z^{2}|\,0=0\quad <1\end{aligned}}$

Die Reihe konvergiert.