TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 101

Man untersuche, welche o-, O- und ~-Beziehungen zwischen den Folgen $a_{n}$, $b_{n}$ und $c_{n}$ bestehen.

$a_{n}={\frac {2}{n}},\quad b_{n}={\frac {1}{n^{2}}},\quad c_{n}={\frac {8n^{2}}{4n^{3}+1}}$

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Lösungsvorschlag von Padraig

Definition - Landau-Symbole:

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   $a_{n}=O(b_{n})$ für $n\rightarrow \infty$, falls es eine Konstante $C>0$ gibt, sodass $|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}|\leq C$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.
   $a_{n}=o(b_{n})$ für $n\rightarrow \infty$, falls $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0$ gilt.
   $a_{n}\sim b_{n}$, falls $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1$ gilt.

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Sehen wir uns alle Zusammenhänge nacheinander an:

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• $a_{n}$ und $b_{n}$:

$|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}|=|{\frac {\frac {2}{n}}{\frac {1}{n^{2}}}}|=|{\frac {2n^{2}}{n}}|=|2n|\rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}|=+\infty$

$|{\frac {b_{n}}{a_{n}}}|=|{\frac {n}{2n^{2}}}|=|{\frac {1}{2n}}|\rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }|{\frac {b_{n}}{a_{n}}}|=0$

Wir folgern also, dass $b_{n}=o(a_{n})$, was auch impliziert, dass $b_{n}=O(a_{n})$.

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• $a_{n}$ und $c_{n}$:

$|{\frac {a_{n}}{c_{n}}}|=|{\frac {\frac {2}{n}}{\frac {8n^{2}}{4n^{3}+1}}}|=|{\frac {2(4n^{3}+1)}{8n^{3}}}|=|{\frac {8n^{3}+2}{8n^{3}}}|=|{\frac {8+{\frac {2}{n^{3}}}}{8}}|\rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }|{\frac {a_{n}}{c_{n}}}|=|{\frac {8+0}{8}}|=1$

$|{\frac {c_{n}}{a_{n}}}|=|{\frac {8n^{3}}{8n^{3}+2}}|=|{\frac {8}{8+{\frac {2}{n^{3}}}}}|\rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }|{\frac {c_{n}}{a_{n}}}|=|{\frac {8}{8+0}}|=1$

Wir folgern also, dass $a_{n}\sim c_{n}$.

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• $b_{n}$ und $c_{n}:$

$|{\frac {b_{n}}{c_{n}}}|=|{\frac {\frac {1}{n^{2}}}{\frac {8n^{2}}{4n^{3}+1}}}|=|{\frac {4n^{3}+1}{8n^{4}}}|\rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }|{\frac {b_{n}}{c_{n}}}|=0$

$|{\frac {c_{n}}{b_{n}}}|=|{\frac {8n^{4}}{4n^{3}+1}}|\rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }|{\frac {c_{n}}{b_{n}}}|=+\infty$

Wir folgern also, dass $b_{n}=o(c_{n})$, was auch impliziert, dass $b_{n}=O(c_{n})$.

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Trivialerweise gilt auch, dass $a_{n}\sim a_{n}\wedge b_{n}\sim b_{n}\wedge c_{n}\sim c_{n}$.

Zu beachten ist auch $a_{n}=O(a_{n})\wedge b_{n}=O(b_{n})\wedge c_{n}=O(c_{n})$.

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--Padraig (Diskussion) 10:47, 05. Apr. 2022 (CEST)