TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 101

Man untersuche, welche o-, O- und ~-Beziehungen zwischen den Folgen $a_n$, $b_n$ und $c_n$ bestehen.

$a_n=\frac{2}{n},b_n=\frac{1}{n^2},c_n=\frac{8n^2}{4n^3+1}$

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Lösungsvorschlag von Padraig

Definition - Landau-Symbole:

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   $a_n=O(b_n)$ für $n\to \mathrm{\infty }$, falls es eine Konstante $C>0$ gibt, sodass $|\frac{a_n}{b_n}|\le C$ für fast alle $n\in \mathbb{N}$ gilt.
   $a_n=o(b_n)$ für $n\to \mathrm{\infty }$, falls $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=0$ gilt.
   $a_n\sim b_n$, falls $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n}{b_n}=1$ gilt.

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Sehen wir uns alle Zusammenhänge nacheinander an:

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• $a_n$ und $b_n$:

$|\frac{a_n}{b_n}|=|\frac{\frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}}|=|\frac{2n^2}{n}|=|2n|\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_n}{b_n}|=+\mathrm{\infty }$

$|\frac{b_n}{a_n}|=|\frac{n}{2n^2}|=|\frac{1}{2n}|\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{b_n}{a_n}|=0$

Wir folgern also, dass $b_n=o(a_n)$, was auch impliziert, dass $b_n=O(a_n)$.

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• $a_n$ und $c_n$:

$|\frac{a_n}{c_n}|=|\frac{\frac{2}{n}}{\frac{8n^2}{4n^3+1}}|=|\frac{2(4n^3+1)}{8n^3}|=|\frac{8n^3+2}{8n^3}|=|\frac{8+\frac{2}{n^3}}{8}|\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{a_n}{c_n}|=|\frac{8+0}{8}|=1$

$|\frac{c_n}{a_n}|=|\frac{8n^3}{8n^3+2}|=|\frac{8}{8+\frac{2}{n^3}}|\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{c_n}{a_n}|=|\frac{8}{8+0}|=1$

Wir folgern also, dass $a_n\sim c_n$.

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• $b_n$ und $c_n:$

$|\frac{b_n}{c_n}|=|\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{8n^2}{4n^3+1}}|=|\frac{4n^3+1}{8n^4}|\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{b_n}{c_n}|=0$

$|\frac{c_n}{b_n}|=|\frac{8n^4}{4n^3+1}|\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|\frac{c_n}{b_n}|=+\mathrm{\infty }$

Wir folgern also, dass $b_n=o(c_n)$, was auch impliziert, dass $b_n=O(c_n)$.

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Trivialerweise gilt auch, dass $a_n\sim a_n\wedge b_n\sim b_n\wedge c_n\sim c_n$.

Zu beachten ist auch $a_n=O(a_n)\wedge b_n=O(b_n)\wedge c_n=O(c_n)$.

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--Padraig (Diskussion) 10:47, 05. Apr. 2022 (CEST)