TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 107

Bestimmen Sie die Größenordnungen von

1. (a) $2{,}7n^{2}-0{,}5n+1$
2. (b) $0{,}35\cdot 2^{n}+5n^{5}$
3. (c) ${\sqrt {1+1{,}1\,n^{2}}}$

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Hilfreiches

Landau-Symbole

Seien $(a_{n})_{n\geq 0}$ und $(b_{n})_{n\geq 0}$ Folgen. Dann schreibt man für $n\to \infty$:

1. (i) $a_{n}=O(b_{n})$, falls es eine Konstante C>0 gibt, so dass $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right|\leq C$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$ gilt.
2. (ii) $a_{n}=o(b_{n})$, falls $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=0$ gilt.
3. (iii) $a_{n}\sim b_{n}$, falls $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=1$ gilt.

  (Definition 4.62)

Lösungsvorschlag von Manül

(a)

$2{,}7n^{2}-0{,}5n+1=n^{2}(2{,}7-{\frac {0{,}5}{n}}+{\frac {1}{n^{2}}})\leq C\cdot n^{2}$ mit $C=2{,}7$

$\Rightarrow O(n^{2})$

${\frac {2,7}{n}}-{\frac {0,5}{n^{2}}}+{\frac {1}{n^{3}}}\to 0$ für $n\to \infty$

$\Rightarrow o(n^{3})$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {2{,}7n^{2}-0.5n+1}{2{,}7n^{2}}}=1-{\frac {0{,}5}{2{,}7n}}+{\frac {1}{2{,}7n^{2}}}\to 1$

$\Rightarrow \sim 2{,}7n^{2}$

(b)

${\frac {0{,}35\cdot 2^{n}+5n^{5}}{2^{n}}}\to 1$

$\Rightarrow O(2^{n})$

Anmerkung: $2^{n}$ wächst schneller als $5n^{5}$

(c)

${\sqrt {1+1{,}1n^{2}}}=n\,{\sqrt {{\frac {1}{n^{2}}}+1{,}1}}\to O(n)$

oder $\sim {\sqrt {1{,}1}}n$

Manül 13:39, 17. Jun 2008 (CEST)