TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 121

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Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

g(x)=(1+\sqrt{x})^7

Hilfreiches[Bearbeiten]

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion[Bearbeiten, 4.91 Satz]

Sei I = [a,b] ein Intervall und f\colon I \to \R eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion f^{-1}\colon f(I) \to I und ist ebenfalls stetig.

Satz 4.92:

Seien f(x) und g(x) stetige Funktionen. Dann sind die folgenden Funktionen - auf geeigneten Definitionsbereichen - ebenfalls stetig: f(x)\pm g(x)

f(x)g(x)

\frac{f(x)}{g(x)} (falls g(x)\neq0)

f(g(x))

Stetigkeit[Bearbeiten]

Aus Satz 4.92 folgt, dass g(x) stetig ist.

Monotonie[Bearbeiten]

Annahme streng monoton wachsend:

a_n < a_{n+1}

(1+\sqrt{x})^7 < (1+\sqrt{y})^7

\sqrt{x}<\sqrt{y}

x<y

--> g(x) ist streng monoton steigend

Umkehrfunktion[Bearbeiten]

g(x) ist streng monoton und stetig ---> besitzt eine Umkehrfunktion. y=(1+\sqrt{x})^7

\sqrt[7]{y}=(1+\sqrt{x})

\sqrt[7]{y}-1=\sqrt{x}

(\sqrt[7]{y}-1)^2=x

Die Umkehrfunktion ist also

g^{-1}(x)=(\sqrt[7]{x}-1)^2

--Slaybert (Diskussion) 11:51, 27. Apr. 2013 (CEST)