TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 130

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f^{\prime }(x)$:

$f(x)=\arcsin (\sqrt[3]{x^2-2})$

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Hilfreiches

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

$\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

arcsin'

Arcsin'

${\arcsin }^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ Folgt aus Umkehrregel.

Lösung:

Definitionsmenge

Arcsin ist definiert im Intervall [-1, +1].

Auf die Funktion $f(x)$ angewendet, heißt das:

$\begin{array}{cccc}-1\le & \sqrt[3]{x^2-2}& \le 1& |\uparrow 3\\ -1\le & x^2-2& \le 1& |+2\\ 1\le & x^2& \le 3& |\sqrt{}\\ 1\le & |x|& \le \sqrt{3}\end{array}$

$⟹\text{Definitionbereich ist:}\{\begin{array}{cc}1& \le x\le \sqrt{3}\\ -1& \ge x\ge -\sqrt{3}\end{array}$

Ableitung

Die Ableitung von $\arcsin$ ist: ${\arcsin }^{\prime }(n)=\frac{1}{\sqrt{1-n^2}}$

Ableiten der Funktion $f(x)$ mittels Kettenregel:

$f^{\prime }(x)={\arcsin }^{\prime }(\sqrt[3]{x^2-2})=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\sqrt[3]{x^2-2}\right)}^2}}\cdot \frac{1}{3}\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{x^2-2}\right)}^2}\cdot 2x=\frac{2x}{\sqrt{1-\sqrt[3]{(x^2-2{)}^2}}\cdot 3\sqrt[3]{(x^2-2{)}^2}}$

Nenner-Nullstellen

Daraus ergibt sich, dass die Funktion an folgenden Stellen ebenfalls undefiniert ist:

• erster Nenner-Term:

$\begin{array}{cc}1-\sqrt[3]{(x^2-2{)}^2}=0& |-1\\ -\sqrt[3]{(x^2-2{)}^2}=-1& |\cdot (-1)\\ \sqrt[3]{(x^2-2{)}^2}=1& |\uparrow 3\\ (x^2-2{)}^2=1& |\sqrt{}\\ x^2-2=\pm 1& |+2\\ x^2=1;3& \Rightarrow \\ x=\pm 1;\pm \sqrt{3}\end{array}$

• zweiter Nenner-Term:

$\begin{array}{cc}\sqrt[3]{(x^2-2{)}^2}=0& |\uparrow 3\\ (x^2-2{)}^2=0& |\sqrt{}\\ x^2-2=\pm 0& |+2\\ x^2=\pm 2& \Rightarrow \\ x=\pm \sqrt{2}\end{array}$

Für diese sechs Stellen ist $f(x)$ also ebenfalls undefiniert.

Fazit

Die Funktion $f(x)$ ist in folgenden Intervallen definiert:

• $1<x<\sqrt{3},x\ne \sqrt{2}$
• $-1>x>-\sqrt{3},x\ne -\sqrt{2}$

Anmerkung

Übung WS07 Prof Urbanek gleiche Lösung

Links

• Diskussion im Informatik-Forum

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