TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 134

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Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \arctan \left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)

Hilfreiches[Bearbeiten]

Ableitung des Arkustangens[Bearbeiten, WP]

\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}

Folgt aus der Umkehrregel.

Kettenregel[Bearbeiten, WP, 5.05 Satz]

Verkettungsregel der Differenziation:

\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)

Quotientenregel[Bearbeiten, WP, 5.05 Satz]

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Lösungsvorschlag von MatheFreak[Bearbeiten]

Differenzierbarkeit[Bearbeiten]

Probleme mit der Differenzierbarkeit kann es geben, wenn der Nenner Null wird bzw. wenn das Argument unter der Wurzel < 0 ist. Der arctan ist auf ganz \R stetig, stellt also kein weiteres Problem dar.

Ich gehe vom Definitionsbereich D = \R aus.

Durch die Nullstelle im Nenner bei x = 1 folgt D = \R \setminus \lbrace 1 \rbrace

Nun muss man noch sicherstellen, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist. Positiv ist der Term immer dann, wenn sowohl Zähler als auch Nenner positiv sind, oder wenn beide negativ sind:


\begin{alignat}{2}

\frac{x+1}{x-1} \geq 0 \Longleftrightarrow (x+1) \geq 0 \and (x-1) \geq 0 & \or (x+1) \leq 0 \and (x-1) \leq 0 \\
x \geq -1 \and x \geq 1 & \or x \leq-1 \and x \leq 1 \\
x \geq 1 & \or x \leq -1  \\

\end{alignat}

Also ist der Bruch positiv wenn x größer-gleich 1 oder kleiner-gleich -1 ist. Das bedeutet für den Definitionsbereich, dass man das offene Intervall (-1,1) noch ausschließen muss:

D = \R \setminus \lbrace 1 \rbrace \cup (-1,1) = \R \setminus (-1, 1\rbrack

Ableitung[Bearbeiten]

Für alle die (wie ich) nicht auswendig alle Ableitungen von diveresen Umkehrfunktionen kennen:

Allgemein:
(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}

für den arctan ergibt das:

\arctan(x)' = \frac {1}{1+x^2}

Dann muss "nur noch" die Kettenregel konsequent angewandt werden:


\begin{align}
f'(x) &= \frac {1}{1+\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}^2} \cdot  \frac 12 \cdot \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^{-\frac 12} \cdot \frac{1\cdot(x-1)- (x+1)\cdot 1}{(x-1)^2} \\
&= \frac {1}{1+\frac{x+1}{x-1}}          \cdot \frac 12 \cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{x-1- x-1}{(x-1)^2} \\
&= \frac {1}{\frac{x-1 + x+1}{x-1}}      \cdot \frac 12 \cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{-2 }{(x-1)^2} \\
&= \frac {x-1}{2x}         \cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{-1 }{(x-1)^2} \\
&= \frac {-1}{2x}          \cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{1 }{(x-1)} \\
&= \frac {-1}{2x}          \cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{1 }{(x-1)^2}} \\
&= \frac {-1}{2x} \cdot \sqrt{\frac{1 }{(x+1)(x-1)}}\\
&= \frac {-1}{2x} \cdot \frac{1 }{\sqrt{x^2-1}}\\
&= \frac{-1 }{2x\sqrt{x^2-1}}
\end{align}

Hier sieht man noch, dass die Ableitung für x = -1 nicht definiert ist. D.h. die Funktion ist letztendlich nur im Bereich D= \R \setminus [-1, 1] differenzierbar.

Links[Bearbeiten]

Gleiches Beispiel:

Ähnliche Beispiele: