TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 134

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f^{\prime }(x)$:

$f(x)=\arctan \left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

arctan'

Arctan'

${\arctan }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$ Folgt aus der Umkehrregel.

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation: $\left(f\right(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ (Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Quotientenregel

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag von MatheFreak

Differenzierbarkeit

Probleme mit der Differenzierbarkeit kann es geben, wenn der Nenner Null wird bzw. wenn das Argument unter der Wurzel < 0 ist. Der arctan ist auf ganz $ℝ$ stetig, stellt also kein weiteres Problem dar.

Ich gehe vom Definitionsbereich $D=ℝ$ aus.

Durch die Nullstelle im Nenner bei x = 1 folgt $D=ℝ\setminus \{1\}$

Nun muss man noch sicherstellen, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist. Positiv ist der Term immer dann, wenn sowohl Zähler als auch Nenner positiv sind, oder wenn beide negativ sind:

$\begin{array}{cc}\frac{x+1}{x-1}\ge 0⟺(x+1)\ge 0\wedge (x-1)\ge 0& \vee (x+1)\le 0\wedge (x-1)\le 0\\ x\ge -1\wedge x\ge 1& \vee x\le -1\wedge x\le 1\\ x\ge 1& \vee x\le -1\\ \end{array}$

Also ist der Bruch positiv wenn x größer-gleich 1 oder kleiner-gleich -1 ist. Das bedeutet für den Definitionsbereich, dass man das offene Intervall (-1,1) noch ausschließen muss:

$D=ℝ\setminus \{1\}\cup (-1,1)=ℝ\setminus (-1,1]$

Ableitung

Für alle die (wie ich) nicht auswendig alle Ableitungen von diveresen Umkehrfunktionen kennen:

Allgemein:
$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$

für den arctan ergibt das:

$\arctan (x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

Dann muss "nur noch" die Kettenregel konsequent angewandt werden:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\frac{1}{1+{\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}^2}\cdot \frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{x+1}{x-1}\right)}^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{1}{1+\frac{x+1}{x-1}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot \frac{x-1-x-1}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{1}{\frac{x-1+x+1}{x-1}}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot \frac{-2}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{x-1}{2x}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot \frac{-1}{(x-1{)}^2}\\ & =\frac{-1}{2x}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\cdot \frac{1}{(x-1)}\\ & =\frac{-1}{2x}\cdot \sqrt{\frac{x-1}{x+1}\cdot \frac{1}{(x-1{)}^2}}\\ & =\frac{-1}{2x}\cdot \sqrt{\frac{1}{(x+1)(x-1)}}\\ & =\frac{-1}{2x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ & =\frac{-1}{2x\sqrt{x^2-1}}\end{array}$

Hier sieht man noch, dass die Ableitung für x = -1 nicht definiert ist. D.h. die Funktion ist letztendlich nur im Bereich $D=ℝ\setminus [-1,1]$ differenzierbar.

Links

Gleiches Beispiel:

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 72

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 130
• TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 132