TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 72

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 134. Vergleich

Man untersuche, wo die Funktion

f(x)=\arctan {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}

differenzierbar ist, und bestimme dort ihre Ableitung $f'(x)$ .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Funktion im Interval (-1, 1] nicht definiert ist, ist sie dort auch nicht differenzierbar.

Die Funktion ist mehrfach geschachtelt: $f(x)=f_{1}(f_{2}(f_{3}(x)))$

$f_{1}(x)=\arctan x$

$f_{2}(x)={\sqrt {x}}$

$f_{3}(x)={\frac {x+1}{x-1}}$

Die einzelnen Ableitungen sind:

$f_{1}'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

$f_{2}'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

$f_{3}'(x)={\frac {1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}}={\frac {-2}{(x-1)^{2}}}$

Zusammengesetzt ergibt das:

$\begin{aligned} f^{'} (x) & = f_{1}^{'} (f_{2} (f_{3} (x))) \cdot f_{2}^{'} (f_{3} (x)) \cdot f_{3}^{'} (x) \\ = \frac{1}{1 + {(\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}})}^{2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}} \cdot \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}} \\ = - \frac{1}{(1 + \frac{x + 1}{x - 1}) \cdot {(x - 1)}^{2} \cdot \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}} \\ = - \frac{1}{({(x - 1)}^{2} + (x - 1) (x + 1)) \cdot \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}} \\ = - \frac{1}{(x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} - 1) \cdot \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}} \\ = - \frac{1}{2 x (x - 1) \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}} \\ = - \frac{1}{2 x \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1}} \\ = - \frac{1}{2 x \sqrt{}} \end{aligned}$

Anmerkung von bbernhard1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion

arctan({\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}})

ist meines Erachtens nur bei x = 1 nicht definiert, da dann

{\frac {2}{0}}

dort steht und das bekanntermaßen nicht definiert ist.

Anmerkung von Steve92[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nein, die Funktion ist im gesamten Invervall [-1, 1] nicht differenzierbar. Setzt man für x gleich 0 ein, erhält man $\arctan {{\sqrt {-}}1}$ , was in der Menge der reellen Zahlen klarerweise nicht lösbar ist. Ähnliches ergibt sich für x = -1.

Anmerkung von Shevin[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für x = -1 ist f definiert. Der Nenner (Anmerkung von ilavicion: Zähler, nicht Nenner!) wird 0, was den gesamten Ausdruck unter der Wurzel 0 werden lässt. f(-1) ist dann 0.

Anmerkung von Mir[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist der letzte Umformungsschritt (von ${\begin{aligned}{\frac {-1}{2x{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}}}}\end{aligned}}$ auf ${\begin{aligned}{\frac {-1}{2x{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}$ ) nicht nur möglich wenn x positiv ist ?