TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 72

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 134. Vergleich

Man untersuche, wo die Funktion

$f(x)=\arctan {\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}$

differenzierbar ist, und bestimme dort ihre Ableitung $f'(x)$.

Lösungsvorschlag

Da die Funktion im Interval (-1, 1] nicht definiert ist, ist sie dort auch nicht differenzierbar.

Die Funktion ist mehrfach geschachtelt: $f(x)=f_{1}(f_{2}(f_{3}(x)))$

$f_{1}(x)=\arctan x$

$f_{2}(x)={\sqrt {x}}$

$f_{3}(x)={\frac {x+1}{x-1}}$

Die einzelnen Ableitungen sind:

$f_{1}'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

$f_{2}'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

$f_{3}'(x)={\frac {1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^{2}}}={\frac {-2}{(x-1)^{2}}}$

Zusammengesetzt ergibt das:

$arctan({\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}})$