TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 134

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Man untersuche, wo die Funktion differenzierbar ist und bestimme dort :

Hilfreiches[edit]

arctan'
Arctan'[Bearbeiten, Wikipedia]

Folgt aus der Umkehrregel.

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation: (Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Quotientenregel

  (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag von MatheFreak[edit]

Differenzierbarkeit[edit]

Probleme mit der Differenzierbarkeit kann es geben, wenn der Nenner Null wird bzw. wenn das Argument unter der Wurzel < 0 ist. Der arctan ist auf ganz stetig, stellt also kein weiteres Problem dar.

Ich gehe vom Definitionsbereich aus.

Durch die Nullstelle im Nenner bei x = 1 folgt

Nun muss man noch sicherstellen, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist. Positiv ist der Term immer dann, wenn sowohl Zähler als auch Nenner positiv sind, oder wenn beide negativ sind:

Also ist der Bruch positiv wenn x größer-gleich 1 oder kleiner-gleich -1 ist. Das bedeutet für den Definitionsbereich, dass man das offene Intervall (-1,1) noch ausschließen muss:

Ableitung[edit]

Für alle die (wie ich) nicht auswendig alle Ableitungen von diveresen Umkehrfunktionen kennen:

Allgemein:

für den arctan ergibt das:

Dann muss "nur noch" die Kettenregel konsequent angewandt werden:

Hier sieht man noch, dass die Ableitung für x = -1 nicht definiert ist. D.h. die Funktion ist letztendlich nur im Bereich differenzierbar.

Links[edit]

Gleiches Beispiel:

Ähnliche Beispiele: