TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 130

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Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f'(x):

f(x) = \arcsin(\sqrt[3]{x^2-2})

Hilfreiches[Bearbeiten]

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

\biggl(f\bigl(g(x)\bigr)\biggr)'=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

arcsin'
Arcsin'[Bearbeiten, WP]

\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} Folgt aus Umkehrregel.

Lösung:[Bearbeiten]

Definitionsmenge[Bearbeiten]

Arcsin ist definiert im Intervall [-1, +1].

Auf die Funktion f(x) angewendet, heißt das:

\begin{array}{rcll}
-1 \le& \sqrt[3]{x^2-2} &\le 1 &| \uparrow3\\
-1 \le& x^2-2 &\le 1 &| +2\\
1 \le& x^2 &\le 3 &| \sqrt{\quad}\\
1 \le& |x| &\le \sqrt{3}\\
\end{array}

\Longrightarrow\text{Definitionbereich ist:}\begin{cases}
1 &\le x \le \sqrt{3}\\
-1 &\ge x \ge -\sqrt{3}
\end{cases}

Ableitung[Bearbeiten]

Die Ableitung von \arcsin ist: \arcsin'(n)=\frac{1}{\sqrt{1-n^2}}

Ableiten der Funktion f(x) mittels Kettenregel:

f'(x)=\arcsin'(\sqrt[3]{x^2-2})=
\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt[3]{x^2-2}\right)^2}} \cdot \frac{1}{3} \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x^2-2}\right)^2} \cdot 2x=
\frac{2x}{\sqrt{1-(x^2-2)^{2/3}} \cdot 3(x^2-2)^{2/3}}

Nenner-Nullstellen[Bearbeiten]

Daraus ergibt sich, dass die Funktion an folgenden Stellen ebenfalls undefiniert ist:

  • erster Nenner-Term:

\begin{array}{rl}
(x^2-2)^{2/3}=1 &\Rightarrow \\
x^2-2=\pm1 &\Rightarrow \\
x^2=1; 3 &\Rightarrow \\
x=\pm1; \pm\sqrt 3
\end{array}

  • zweiter Nenner-Term:

x=\pm\sqrt 2

Für diese sechs Stellen ist f(x) also ebenfalls undefiniert.

Fazit[Bearbeiten]

Die Funktion f(x) ist in folgenden Intervallen definiert:

  • 1 < x < \sqrt{3}, x\neq\sqrt 2
  • -1 > x > -\sqrt{3}, x\neq-\sqrt 2

Anmerkung[Bearbeiten]

Übung WS07 Prof Urbanek gleiche Lösung

Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: