TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 134

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$:

$f(x)=\arctan \left({\sqrt {\frac {x+1}{x-1}}}\right)$

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Hilfreiches

arctan'

Arctan'

$\arctan '(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ Folgt aus der Umkehrregel.

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation: ${\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$ (Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Quotientenregel

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag von MatheFreak

Differenzierbarkeit

Probleme mit der Differenzierbarkeit kann es geben, wenn der Nenner Null wird bzw. wenn das Argument unter der Wurzel < 0 ist. Der arctan ist auf ganz $\mathbb {R}$ stetig, stellt also kein weiteres Problem dar.

Ich gehe vom Definitionsbereich $D=\mathbb {R}$ aus.

Durch die Nullstelle im Nenner bei x = 1 folgt $D=\mathbb {R} \setminus \lbrace 1\rbrace$

Nun muss man noch sicherstellen, dass der Ausdruck unter der Wurzel positiv ist. Positiv ist der Term immer dann, wenn sowohl Zähler als auch Nenner positiv sind, oder wenn beide negativ sind:

${\begin{alignedat}{2}{\frac {x+1}{x-1}}\geq 0\Longleftrightarrow (x+1)\geq 0\land (x-1)\geq 0&\lor (x+1)\leq 0\land (x-1)\leq 0\\x\geq -1\land x\geq 1&\lor x\leq -1\land x\leq 1\\x\geq 1&\lor x\leq -1\\\end{alignedat}}$

Also ist der Bruch positiv wenn x größer-gleich 1 oder kleiner-gleich -1 ist. Das bedeutet für den Definitionsbereich, dass man das offene Intervall (-1,1) noch ausschließen muss:

$D=\mathbb {R} \setminus \lbrace 1\rbrace \cup (-1,1)=\mathbb {R} \setminus (-1,1\rbrack$

Ableitung

Für alle die (wie ich) nicht auswendig alle Ableitungen von diveresen Umkehrfunktionen kennen:

Allgemein:
$(f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}$

für den arctan ergibt das:

$\arctan(x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Dann muss "nur noch" die Kettenregel konsequent angewandt werden:

$D=\mathbb {R} \setminus [-1,1]$