TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 14

Sei $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine beliebige reelle Folge. Man zeige, dass es zwei Nullfolgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gibt, die $c_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ für alle $n\in \mathbb {N}$ erfüllen.

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Hilfreiches

Nullfolgen sind Folgen, die zu 0 konvergieren.

Lösung von Aeroleeds

Lösung laut Übungsbesprechung - --Aeroleeds 21:15, 23. Mär. 2012 (CET)

Habe mir erlaubt, die im obigen PDF recht kompakt ausgeführt ist, im Folgenden etwas ausführlicher zu begründen bzw. herzuleiten. (Ich habe nicht gleich verstanden, wieso diese recht komplexe Formel notwendig ist bzw. wie ich das dann in der Übung erklären soll, vielleicht geht es anderen auch so) --Literallie (Diskussion) 23:36, 12. Mär. 2018 (CET)

Da wir zu $c_{n}$ keine einschränkenden Bedingungen haben, bietet es sich an, die zu konstruierenden Folgen davon abhängig zu machen, und dann so hinzubiegen, dass sich der Rest wegkürzt und nur mehr etwas wie $c_{n}/1$ übrig bleibt.

Die offensichtlichste Art, eine Nullfolge zu konstruieren, ist, durch eine Folge zu dividieren, die gegen $+\infty$ konvergiert und stets größer ist. Wir wissen nichts über $c_{n}$, können aber auf $(n)_{n\in \mathbb {N} }\to +\infty$ zurückgreifen. Das bedeutet, wir können festlegen (unter Vermeidung der Division durch 0):

$a_{n}={\frac {c_{n}}{n+1}}$

Jetzt fehlt noch, dass der Zähler immer betragsmäßig größer sein muss als der Nenner. Wieder wissen wir nichts über $c_{n}$, daher werden wir es selbst verwenden. Wir müssen schauen, dass der Nenner nicht Null werden kann. Da $c_{n}$ auch 0 oder negativ sein kann, bieten sich hier Betrag und $+1$ an.

$a_{n}={\frac {c_{n}}{n\cdot |c_{n}|+1}}$

Der untere Ausdruck konvergiert offensichtlich gegen $+\infty$, da $n$ (streng monoton wachsend) mit einem positiven Wert multipliziert wird. Daher handelt es sich um eine Nullfolge.

Jetzt brauchen wir das nur mehr quasi umzudrehen, um auf $b_{n}$ zu kommen:

$c_{n}={\frac {\frac {c_{n}}{n\cdot |c_{n}|+1}}{b_{n}}}\iff$$c_{n}b_{n}={\frac {c_{n}}{n\cdot |c_{n}|+1}}\iff$$b_{n}={\frac {c_{n}}{c_{n}(n\cdot |c_{n}|+1)}}\iff$$b_{n}={\frac {1}{n\cdot |c_{n}|+1}}$

Das ist mit dem selben Argument wie oben auch eine Nullfolge. (Alles andere wär leicht unangenehm)

Beweis.
${\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\frac {c_{n}}{n\cdot |c_{n}|+1}}{\frac {1}{n\cdot |c_{n}|+1}}}={\frac {c_{n}\cdot (n\cdot |c_{n}|+1)}{(n\cdot |c_{n}|+1)\cdot 1}}={\frac {c_{n}}{1}}=c_{n}~~~~\square$

Ich habe das Beispiel mit diesem Narrativ in der Übungsstunde präsentiert und es hat gepasst --Literallie (Diskussion) 13:23, 19. Mär. 2018 (CET)

Anmerkung von essenspause: Genau genommen wäre bn für den Fall das cn z.B. 1/n² ist glaube nicht zwingen eine Nullfolge, da n*1/n^2 gegen 0 geht und bn damit gegen 1.

Lösung von essenspause

Gefragt ist ja nur, dass man zeigt es gibt zwei Nullfolgen, die cn beschreiben, nicht, dass man eine allgemeine Formel für die jeweiligen Formeln findet.

Für allgemeine Formeln ist das Problem, dass man theoretisch oft ein cn finden kann, womit an oder bn keine Nullfolgen mehr darstellen (siehe Anmerkung oben).

Meine Lösung ist ähnlich, jedoch mit Fallunterscheidung.

a. cn ist eine Nullfolge

Dann kann man an = cn*cn, bn = (cn+1/n) wählen (+1/n für den Fall, dass cn eine konstante Folge aus Nullen ist). Beides sind Nullfolgen und an/bn = cn

b. cn ist eine beschränkte Folge

Dann kann man an = cn/n und bn = 1/n wählen. an/bn liefert wieder cn.

c. cn divergiert/ist unbeschränkt

Dann kann man an = 1/cn² und bn = 1/cn wählen. an/bn liefert wieder cn.

Hinweis: Ich weiß nicht ob ich hier wirklich alle Fälle abdecke.

Links

• Thread im inf. forum