TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 17

Seien $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit $\lim _{n\to \infty }a_{n}=a$ und $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b$ mit $b\neq 0$. Man zeige, dass dann gilt $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {a}{b}}$. Wieso spielt hierbei die zusätzliche Bedingung $b_{n}\neq 0$ für alle $n\in \mathbb {N}$, die eigentlich für die Existenz der Folge $({\frac {a_{n}}{b_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }$ notwendig ist, keine große Rolle?

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Entspricht Satz 4.14 (iv) aus Mathematik für Informatik.

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Links

• Die Quotientenregel – Grenzwertsätze: Grenzwert von Folgen berechnen – Serlo
• Englisch-sprachige PDF mit dem gefragten Beweis (Theorem C, ii auf Seite 3 und 4, aber es wird Zeug von davor verwendet)