TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 176

Man beweise die Formel $\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$ .

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

$\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\begin{aligned} \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y) & = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \frac{e^{y} + e^{- y}}{2} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \\ = \frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{y} + e^{- y}) + (e^{x} - e^{- x}) (e^{y} - e^{- y})}{4} \\ = \frac{e^{x + y} + e^{x - y} + e^{- x + y} + e^{- x - y} + e^{x + y} - e^{x - y} - e^{- x + y} + e^{- x - y}}{4} \\ = \frac{e^{x + y} + e^{- x - y} + e^{x + y} + e^{- x - y}}{4} \\ = \frac{2 e^{x + y} + 2 e^{- x - y}}{4} \\ = \frac{e^{x + y} + e^{- (x + y)}}{2} \\ = \cosh ( \end{aligned}$

TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 176

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Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

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