TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 200

Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:

1. (a) $\lim _{x\to 1-}\ln(1-x)\cdot \ln(x)$
2. (b) $\lim _{x\to \infty }x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)$

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Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_{0}$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ und
• existiert $\lim _{x\to x_{0}}\left({\frac {f'(x)}{g'(x)}}\right)$,

so gilt: $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \infty$, oder auch falls $\lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}g(x)=\infty$.

Lösungsvorschlag

Beispiel a

Zuerst formt man die Gleichung um, damit man auf die unbestimmte Form ${\frac {\infty }{\infty }}$ kommt:

$\lim _{x\to 1-}\ln(1-x)\cdot \ln(x)=\lim _{x\to 1-}{\frac {\ln(1-x)}{\frac {1}{\ln(x)}}}$

Regel von de l'Hospital anwenden:

$\lim _{x\to 1-}{\frac {\ln(1-x)}{\frac {1}{\ln(x)}}}=\lim _{x\to 1-}{\frac {\frac {1}{x-1}}{\frac {-1}{x(\ln(x))^{2}}}}$

Etwas umgeformt sieht das Ganze dann so aus:

$\lim _{x\to 1-}-{\frac {x(\ln(x))^{2}}{x-1}}=\lim _{x\to 1-}-{\frac {(\ln(x))^{2}}{1-{\frac {1}{x}}}}$

Da dies wieder eine unbestimmte Gleichung der Form ${\frac {0}{0}}$ ist, muss man ein weiteres Mal die Regel von de l'Hospital anwenden:

$\lim _{x\to 1-}-{\frac {(\ln(x))^{2}}{1-{\frac {1}{x}}}}=\lim _{x\to 1-}-{\frac {2\ln(x){\frac {1}{x}}}{\frac {1}{x^{2}}}}=\lim _{x\to 1-}-2x\ln(x)=0$

$\Rightarrow \lim _{x\to 1-}\ln(1-x)\cdot \ln(x)=0$

Beispiel b

Zuerst formt man die Gleichung um, damit man auf die unbestimmte Form ${\frac {0}{0}}$ kommt:

$\lim _{x\to \infty }x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\frac {1}{x}}}$

Regel von de l'Hospital anwenden:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\frac {-1}{x(x+1)}}{\frac {-1}{x^{2}}}}$

Etwas umgeformt sieht das Ganze dann so aus:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}$

Das sieht nur im ersten Moment umbestimmt aus. Man dividiere im Zähler und Nenner durch x:

$\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{x+1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {1}{x}}}}=1$

$\Rightarrow \lim _{x\to \infty }x\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)=1$

Lösungsvorschlag von Aeroleeds

Datei:Analysis Bsp.183.pdf