TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 203

Man berechne den Grenzwert

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x^2)}{x\sin x}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Regel von l'Hospital

Regel von l'Hospital

Sind die Funktionen $f$ und $g$ in einer Umgebung von $x_0$

• differenzierbar und
• gilt $f(x_0)=g(x_0)=0$ und
• existiert $\underset{x\to x_0}{lim}\left(\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\right)$,

so gilt: $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$. Eine analoge Aussage gilt für $x\to \mathrm{\infty }$, oder auch falls $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$.

Lösungsvorschlag

Es liegt hier die unbestimmte Form $\frac{0}{0}$ vor, daher wenden wir hier die Regel von de l'Hospital an:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x^2)}{x\sin x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x\cdot \cos (x^2)}{\sin x+x\cos x}=2\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos (x^2)}{\frac{1}{x}\cdot \sin x+\cos x}$

Im ersten Moment könnte man glauben, das ist wieder umbestimmt, weil $\frac{1}{x}\cdot \sin x$ nach $\frac{0}{0}$ aussieht.

Aber man muss hier etwas genauer hinschauen:

Der Sinus lässt sich auch durch eine Potenzreihe darstellen:

$\sin x=\sum _{k\ge 0}(-1{)}^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-+\cdots$

$\Rightarrow \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-+\cdots$

und wenn man diese Potenzreihe gegen Null gehen lässt, sieht man dass das gegen 1 konvergiert, weil alle Terme wo ein x drinnen steckt gegen null gehen und daher nur der 1 am Anfang überbleibt.

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$

Mit diesem Wissen und den Rechenregeln für Grenzwerte kann man obiges bereits berechnen:

$2\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos (x^2)}{\frac{1}{x}\cdot \sin x+\cos x}=2\frac{\underset{x\to 0}{lim}\cos (x^2)}{\underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x}\cdot \sin x+\cos x)}=2\frac{\underset{x\to 0}{lim}\cos (x^2)}{\underset{x\to 0}{lim}(\frac{1}{x}\cdot \sin x)+\underset{x\to 0}{lim}(\cos x)}=2\frac{1}{1+1}=1$

$\Rightarrow \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin (x^2)}{x\sin x}=1$