TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 194

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Man bestimme den Grenzwert


\begin{align}
    \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x
\end{align}

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Direktes Einsetzen in den Ausdruck liefert '0^0'. Wir formen den Ausdruck also zunächst um.

\begin{align}
    \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x = \lim_{x \rightarrow 0^+} (e^{\ln(x)})^x =
    \lim_{x \rightarrow 0^+} e^{\ln(x)x}
\end{align}
Betrachten wir den Exponenten so erhalten wir zunächst einen unbestimmten Ausdruck. Hier fließt ein, dass gilt \lim_{x \rightarrow 0^+} \ln
(x) = - \infty.

\begin{align}
    \lim_{x \rightarrow 0^+} \ln(x) x = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}
    {\frac{1}{x}} = \frac{-\infty}{\infty}
\end{align}
Wir wenden also die Regel von L'Hospital an und betrachten die Ableitungen des Nenners und Zählers, also

\begin{align}
     \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{(\ln x)'}{(\frac{1}{x})'} = \frac{\frac{1}
     {x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \rightarrow 0^+} -\frac{x}{1} = 0
\end{align}
Wir wissen nun, dass der Exponent von e^{\ln(x)x} gegen 0 konvergiert. Deswegen konvergiert der ganze Ausdruck gegen 1, was wiederum der Grenzwert von x^x ist.