TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 20

Für alle $n\in \mathbb {N}$ mit $n\geq 1$ sei $a_{n}=1+{\frac {1}{n^{2}}}+\cos \left({\frac {\pi n}{2}}\right)\left(3-{\frac {5}{n}}\right)$.

1. Gelten für die Umgebung $U=U_{1}(3)=(2,4)$ von 3 die folgenden beiden Aussagen?

   (a) $a_{n}\in U$ für unendlich viele $n$.

   (b) Es gibt ein $N=N(\varepsilon )=N(1)$ mit $a_{n}\in U$ für alle $n\geq N$.

2. Geben Sie alle Häufungspunkte der Folge $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ an.
3. Geben Sie eine Folge natürlicher Zahlen $n_{1}<n_{2}<\dots$ an, so dass $\left(a_{n_{k}}\right)k_{\in \mathbb {N} }$ eine monotone Teilfolge von $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$ ist.
4. Warum konvergieren alle monotonen Teilfolgen von $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$?

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Lösungsvorschlag

1. Frage

a) Man könnte meinen, dass unendlich viele Folgenglieder in (2, 4) liegen, weil 4 ein Häufungspunkt ist. Dies ist allerdings ein Fehlschluss, die unendlich vielen Folgenglieder in der $\epsilon$-Umgebung vom Häufungspunkt 4 könnten schließlich auch >=4 sein.

Erfüllen unendlich viele Indexe $2<1+{\tfrac {1}{n^{2}}}+\cos({\tfrac {\pi n}{2}})(3-{\tfrac {5}{n}})<4$?

$\cos {\tfrac {\pi n}{2}}\in \{-1,0,1\}\forall n\in \mathbb {N}$. Für $\cos \in \{0,-1\}$ ist die obige Ungleichung nicht erfüllt. Was ist wenn $\cos =1$?

$\forall n\ {\bmod {\ }}4=0$:

${\begin{aligned}2&<1+{\tfrac {1}{n^{2}}}+\cos({\tfrac {\pi n}{2}})(3-{\tfrac {5}{n}})<4\\2&<1+{\tfrac {1}{n^{2}}}+3-{\tfrac {5}{n}}<4&&|\;-4\\-2&<{\tfrac {1}{n^{2}}}-{\tfrac {5}{n}}<0&&|\;\cdot n\\-2n&<{\tfrac {1}{n}}-5<0&&\checkmark \end{aligned}}$

b) Nein, weil es Häufungspunkte gibt, die definitiv außerhalb der Umgebung liegen.

2. Frage

Die Brüche mit n im Nenner gehen gegen null. n bleibt nur noch im cos über, der sich alle 4 Indexe wiederholt, also einfach die $\lim _{n\to \infty }$ für $a_{4n}$, $a_{4n+1}$, $a_{4n+2}$ und $a_{4n+3}$ ausrechnen.

Rauskommen sollte -2, 1 und 4.

3. Frage

Für ungerade Indexe ist der $\cos$-Teil 0.

Dass die $1+{\frac {1}{n^{2}}}$ immer kleiner werden, kann (da $n$ nie negativ ist) so gezeigt werden:

${\begin{aligned}a_{n_{k}}&>a_{n_{k+1}}\\1+{\frac {1}{n^{2}}}&>1+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\\{\frac {n^{2}\cdot (n+1)^{2}}{n^{2}}}&>{\frac {n^{2}\cdot (n+1)^{2}}{(n+1)^{2}}}\\n^{2}+2n+1&>n^{2}\\2n+1&>0\end{aligned}}$

4. Frage

Jede mögliche Folge ist zumindest durch -2 nach unten und 4 nach oben beschränkt. Satz 4.12 (Hauptsatz über monotone Folgen): Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.