TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 21

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Man untersuche die Folge a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \lim_{n\to\infty}a_n. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle n \geq 0.

a_0=3, a_{n+1}=\sqrt{2a_n -1} für alle n\geq0

Lösungsversuch nach Nemetz, Forum[Bearbeiten]

Grundlagen[Bearbeiten]

Unter Konvergenz versteht man in der Mathematik die Existenz eines Grenzwertes. Das Gegenteil wird als Divergenz bezeichnet.

Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert a, wenn in jeder \epsilon-Umgebung von a fast alle (alle bis auf endlich viele) Folgenglieder liegen.

In der Mathematik heißt eine Funktion oder Folge, die nur größer wird oder konstant ist (und niemals fällt), monoton steigend (oder monoton wachsend). Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend, wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt.

Streng monoton steigend (bzw. streng monoton fallend) sind Funktionen oder Folgen, die nur größer (kleiner) werden, jedoch nicht konstant sind.

Lösung[Bearbeiten]

Untersuchen von Werten für a_0,a_1,a_2,a_3,a_4... (Achtung wegen a_{n+1} im Index, d.h. immer das vorige a_{n-1} in die Formel einsetzen)

a_0=3

a_1=\sqrt{2*a_{n-1} -1}=\sqrt{2*a_0 -1}=\sqrt{2*3-1}=\sqrt5=2.2360

a_2=\sqrt{2*a_{n-1} -1}=\sqrt{2*a_1 -1}=\sqrt{2*(\sqrt5) -1}=1.8633

a_3=\sqrt{2*a_{n-1} -1}=\sqrt{2*a_2 -1}=\sqrt{2*(\sqrt{2*(\sqrt5) -1}) -1}=1.6512

\vdots

Also, das könnt man jetzt bis zum umfallen rechnen. Wer's selber rechnen will damit's keine peinlichen Fehler gibt (die ich nicht ausschließe) kann das tun, ich empfehle den "IsaC"-Calculator[1]. In den kann man "sqrt(2*sqrt(2*sqrt5-1)-1)" eintippen und so weiter.

Wir nehmen jetzt an, dass es sich um eine fallende Folge handelt da a_0 > a_1 > a_2 > a_3 > ...

Streng mathematisch gesehen sagen uns die 3 Rechnungen die wir gemacht haben noch gar nichts. Wir hoffen aber einen Hinweis gefunden zu haben, dass immer a_n \ge a_{n+1} gilt. Das müssen wir beweisen. Wir möchten die Angabe (a_{n+1}=\sqrt{2a_n -1}) einsetzen, um das auch überprüfen zu können d.h. fleißig umformen und einsetzen:

a_n \ge a_{n+1}

Wir setzen statt a_{n+1} das \sqrt{2a_n -1} aus der Angabe (a_{n+1}=\sqrt{2a_n -1}) ein und erhalten:

a_n \ge \sqrt{2a_n -1}

Und umformen:


\begin{align}
a_n &\ge \sqrt{2a_n -1} && |^2\\
a_n^2 &\ge 2a_n -1 && |-2a_n \; +1\\
a_n^2 -2a_n +1 &\ge 0
\end{align}

So. Wir erinnern uns an die gute alte Lösungsformel für quadratische Gleichungen, die wir in der Schule bis zum erbrechen geübt haben.

Zur Erinnerung:

Für  x^2+px+q=0 \quad gilt x_{1,2} \;=\;  - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \frac{p^2}{4} - q }

Wir setzen für x einfach a_n ein, d.h. p=-2, q=1 und erhalten:

a_{n_{1,2}} \;=\; - \frac{-2}{2} \pm \sqrt{ \frac{-2^2}{4} - 1 } \;=\; 1 \pm \sqrt{ \frac{4}{4} - 1 } \;=\; 1 \pm \sqrt{ 1 - 1 } \;=\; 1 \pm \sqrt{ 0 } \;=\; 1

a_n=1

Die Gleichung gilt also für alle a_n>1. Womit wir 1 auch als Grenzwert annehmen.

//Kommentar: die Gleichung gilt aber für alle a_n Die Umformung wäre z.B. a_n^2 -2a_n +1 = (a_n-1)^2 \ge 0

Jetzt setzen wir a_n=1 in a_n^2 -2a_n +1 > 0 ein und erhalten:


\begin{align}
1^2 -2*1 +1 &\ge 0\\
1 -2 +1 &\ge 0\\
0 &\ge 0 \; \sqrt{}\\
\end{align}


1^2 = 2??

  • Wir glauben eher, dass diese Folge monoton fallend und NICHT streng fallend ist. Da (1^2 = 1 und) 0 \geq0 das Ergebniss sein sollte.

Bitte um Kommentare, MfG

EDIT: Hab's geändert.


Null ist größer-gleich Null. Wir erinnern uns, dass wir hier a_n \ge a_{n+1} bewiesen haben. Das heißt alle a_n sind größer oder gleich als das darauffolgende a_{n+1} (mit nur größer hätten wir 0 > 0, geht also nicht). d.h.:

Die Folge ist also monoton fallend (aber nicht streng)!

Jetzt müssen wir nur noch beweisen, dass 1 auch wirklich der Grenzwert ist. Zuerst, dass a_n \ge 1 ist für alle a_n. Laut "Vollständiger Induktion":

a_0 ist gegeben als a_0=3, damit gilt a_0=3 \ge 1\;\; \sqrt{}

Allgemein (a_{n+1}=\sqrt{2a_n -1}):

\sqrt{2a_n -1} \ge 1

\sqrt{2a_n -1} \ge 1 \;\; |\; ^2

2a_n -1 \ge 1 \;\; |\; +1

2a_n \ge 2 \;\; |\; /2

a_n \ge 1 \;\; \sqrt{}

Also für alle a_n gilt a_n \ge 1.

Die Definition für einen Grenzwert war ja:

Eine Folge konvergiert gegen einen Grenzwert a, wenn in jeder \epsilon-Umgebung von a fast alle (alle bis auf endlich viele) Folgenglieder liegen.

Was bedeutet \epsilon-Umgebung ("Epsilon"-Umgebung) in diesem Fall? Die Folge wird ja immer kleiner (streng monoton fallend), also muss sie ein winzi-bitsi-kleines Stückchen (wir nennen das Stückchen \epsilon) 'über' dem Grenzwert (den wir ja als 1 angenommen haben) rankommen. So, dass nur noch "endlich viele" - im Vergleich zu den unendlich vielen anderen also ganz wenige - Folgenglieder-Werte zwischen 1 und 1+ \epsilon liegen. Das ist die Theorie. Die Praxis ist: Wir setzen 1+ \epsilon ein:


\begin{align}
\sqrt{2a_n -1} &\ge 1+ \epsilon\\
\sqrt{2a_n -1} &\ge 1+ \epsilon && |\; ^2\\
2a_n -1 &\ge 1 + 2*\epsilon + \epsilon^2 && |\; +1\\
2a_n &\ge 2 + 2*\epsilon + \epsilon^2 && |\; /2\\
a_n &\ge 1 + \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2}&& \sqrt{}
\end{align}

\epsilon (also auch \epsilon + \frac{\epsilon^2}{2}) ist per Definition eine beliebig kleine Zahl, also gibt es für manche a_n Werte die um einen winzigen Wert größer sind als 1. 1 Wird aber nie erreicht. Damit ist 1 tatsächlich der Grenzwert. (EDIT: Laut Prof.Dorfer ist die Aussage "Der Grenzwert wird nie erreicht" falsch)

Ein Grenzwert existiert das heißt die Folge ist konvergent.

Ergebnisse:[Bearbeiten]

Folge ist konvergent und monoton fallend.

Supremum (obere Schranke) ist (weil ja die Folge ab a_0 nur noch kleiner wird) sup \; a_n = a_0 = 3

Grenzwert \lim_{n\to\infty} a_n = 1

Siehe: TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 442

Lösung im Forum:[Bearbeiten]

f.thread:39243

Siehe Bsp 441 - von Nemetz[Bearbeiten]

Siehe PDF Beispiel 324 (entspricht Bsp. 441 für

a_0=4, a_{n+1}=\sqrt{6a_n -9} für alle n\geq0

sonst identisch):

Datei:Mathe1-wo04 06 UE-Bsp.pdf