TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 442

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Angabe[edit]

Man untersuche nachstehende Folgen im Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert \lim a_n.

a_0=2, a_{n+1}=\sqrt{a_n + 1} für alle n\geq0

Lösungsvorschlag von Luki[edit]

Aus der Angabe lesen wir heraus: a_o = 2 und a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}

daraus folgt

a_1 = \sqrt{a_o + 1} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}

a_2 = \sqrt{a_1 + 1} = \sqrt{\sqrt{3} + 1}

a_3 = \sqrt{a_2 + 1} = \sqrt{\sqrt{\sqrt{3} + 1} + 1}

was bedeutet, dass

a_0 > a_1 > a_2 > a_3 > ....

Es ist dadurch anzunehmen, dass es sich um eine streng monoton fallende Folge handelt.


Also nehmen wir folgendes an:

a_n > \sqrt{a_n+1}

das wird nun ausgerechnet:

a_n > \sqrt{a_n+1} |^2

a_n^2 > a_n+1

a_n^2 - a_n - 1> 0


Jetzt benutzen wir die Formel für die Quadratische Gleichung:

a^2 - a - 1 = 0

=>

a_n = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^2}{4} + 1}

=>

a_n = 1,618 ist der Grenzwert.

(Das negative Ergebnis - -0.6irgendwas - kann weggelassen werden, da die negativen Zahlen nicht behandelt werden)

Als Beweis setzen wir das nun noch in die Formel ein und erhalten:

1,618^2 - 1,618 - 1 = 0 q.e.d.

- Luki (Ich hoffe ich habs richtig erklärt)


Siehe TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 440


Diskussion im Informatik-Forum: Beispiel 442