TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 442

Angabe

Man untersuche nachstehende Folgen im Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\lim a_{n}$.

$a_{0}=2,a_{n+1}={\sqrt {a_{n}+1}}$ für alle $n\geq 0$

Lösungsvorschlag von Luki

Aus der Angabe lesen wir heraus: $a_{o}=2$ und $a_{n+1}={\sqrt {a_{n}+1}}$

daraus folgt

$a_{1}={\sqrt {a_{o}+1}}={\sqrt {2+1}}={\sqrt {3}}$

$a_{2}={\sqrt {a_{1}+1}}={\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}$

$a_{3}={\sqrt {a_{2}+1}}={\sqrt {{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}+1}}$

was bedeutet, dass

$a_{0}>a_{1}>a_{2}>a_{3}>...$.

Es ist dadurch anzunehmen, dass es sich um eine streng monoton fallende Folge handelt.

Also nehmen wir folgendes an:

$a_{n}>{\sqrt {a_{n}+1}}$

das wird nun ausgerechnet:

$a_{n}>{\sqrt {a_{n}+1}}$ $|^{2}$

$a_{n}^{2}>a_{n}+1$

$a_{n}^{2}-a_{n}-1>0$

Jetzt benutzen wir die Formel für die Quadratische Gleichung:

$a^{2}-a-1=0$

=>

$a_{n}={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1^{2}}{4}}+1}}$

=>

$a_{n}=1,618$ ist der Grenzwert.

(Das negative Ergebnis - -0.6irgendwas - kann weggelassen werden, da die negativen Zahlen nicht behandelt werden)

Als Beweis setzen wir das nun noch in die Formel ein und erhalten:

$1,618^{2}-1,618-1=0$ q.e.d.

- Luki (Ich hoffe ich habs richtig erklärt)

Siehe TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 440

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Diskussion im Informatik-Forum: Beispiel 442