TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 442

Angabe

Man untersuche nachstehende Folgen im Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $lim{a}_n$.

$a_0=2,a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$ für alle $n\ge 0$

Lösungsvorschlag von Luki

Aus der Angabe lesen wir heraus: $a_o=2$ und $a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$

daraus folgt

$a_1=\sqrt{a_o+1}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$

$a_2=\sqrt{a_1+1}=\sqrt{\sqrt{3}+1}$

$a_3=\sqrt{a_2+1}=\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}$

was bedeutet, dass

$a_0>a_1>a_2>a_3>\mathrm{...}$.

Es ist dadurch anzunehmen, dass es sich um eine streng monoton fallende Folge handelt.

Also nehmen wir folgendes an:

$a_n>\sqrt{a_n+1}$

das wird nun ausgerechnet:

$a_n>\sqrt{a_n+1}$ ${|}^2$

$a_n^2>a_n+1$

$a_n^2-a_n-1>0$

Jetzt benutzen wir die Formel für die Quadratische Gleichung:

$a^2-a-1=0$

=>

$a_n=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1^2}{4}+1}$

=>

$a_n=1,618$ ist der Grenzwert.

(Das negative Ergebnis - -0.6irgendwas - kann weggelassen werden, da die negativen Zahlen nicht behandelt werden)

Als Beweis setzen wir das nun noch in die Formel ein und erhalten:

$1,618^2-1,618-1=0$ q.e.d.

- Luki (Ich hoffe ich habs richtig erklärt)

Siehe TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 440

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Diskussion im Informatik-Forum: Beispiel 442