TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 228

Sei $I_n(x):=\int (1+x^2{)}^{-n}dx(n=1,2,3\dots )$. Durch partielle Integration zeige man die Rekursion
$\begin{array}{c}{I}_{n+1}(x)=\frac{2n-1}{2n}\cdot I_n(x)+\frac{1}{2n}\cdot \frac{x}{(1+x^2{)}^n}\end{array}$

Mit Hilfe dieser Formel berechne man $I_3(x)$ (beachte $I_1(x)=\arctan (x)+C$).

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Lösungsvorschlag

Wir betrachten zunächst die Ableitung des Integranden von $I_n$. Es gilt
$\begin{array}{c}\left(\frac{1}{(1+x^2{)}^n}\right)=\frac{-2xn}{(1+x^2{)}^{n+1}}\end{array}$
Nun wird $I_n$ entsprechend dem Hinweis partiell integriert wobei $f,g^{\prime }$ unter Berücksichtigung der obigen Ableitung gewählt werden.
$\begin{array}{cc}{I}_n& =\int \underset{f}{\underbrace{\frac{1}{(1+x^2{)}^n}}}\cdot \underset{g^{\prime }}{\underbrace{1}}dx\\ & =\frac{1}{(1+x^2{)}^n}x-\int \frac{-2nx}{(1+x^2{)}^{n+1}}xdx\\ & =\frac{x}{(1+x^2{)}^n}+2n\int \frac{x^2}{(1+x^2{)}^{n+1}}dx\\ & =\frac{x}{(1+x^2{)}^n}+2n(I_n-I_{n+1})\end{array}$
Der letzte Ausdruck kann durch Umformungen in die gesuchte Form gebracht werden. Nun berechnen wir noch $I_3$.
$\begin{array}{cc}{I}_3& =\frac{4-1}{4}{I}_2+\frac{1}{4}\frac{x}{(1+x^2{)}^2}\\ & =\frac{3}{4}(\frac{1}{2}\arctan x+\frac{1}{2}\frac{x}{1+x^2})+\frac{1}{4}\frac{x}{(1+x^2{)}^2}+c\end{array}$