TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 228

Sei $I_{n}(x):=\int (1+x^{2})^{-n}dx\quad (n=1,2,3\ldots )$. Durch partielle Integration zeige man die Rekursion
${\begin{aligned}I_{n+1}(x)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot I_{n}(x)+{\frac {1}{2n}}\cdot {\frac {x}{(1+x^{2})^{n}}}\end{aligned}}$

Mit Hilfe dieser Formel berechne man $I_{3}(x)$ (beachte $I_{1}(x)=\arctan(x)+C$).

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Lösungsvorschlag

Wir betrachten zunächst die Ableitung des Integranden von $I_{n}$. Es gilt
${\begin{aligned}\left({\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}\right)'={\frac {-2xn}{(1+x^{2})^{n+1}}}\end{aligned}}$
Nun wird $I_{n}$ entsprechend dem Hinweis partiell integriert wobei $f,g'$ unter Berücksichtigung der obigen Ableitung gewählt werden.
${\begin{aligned}I_{n}&=\int \underbrace {\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}} _{f}\cdot \underbrace {1} _{g'}dx\\&={\frac {1}{(1+x^{2})^{n}}}x-\int {\frac {-2nx}{(1+x^{2})^{n+1}}}xdx\\&={\frac {x}{(1+x^{2})^{n}}}+2n\int {\frac {x^{2}}{(1+x^{2})^{n+1}}}dx\\&={\frac {x}{(1+x^{2})^{n}}}+2n(I_{n}-I_{n+1})\end{aligned}}$
Der letzte Ausdruck kann durch Umformungen in die gesuchte Form gebracht werden. Nun berechnen wir noch $I_{3}$.
${\begin{aligned}I_{3}&={\frac {4-1}{4}}I_{2}+{\frac {1}{4}}{\frac {x}{(1+x^{2})^{2}}}\\&={\frac {3}{4}}\left({\frac {1}{2}}\arctan x+{\frac {1}{2}}{\frac {x}{1+x^{2}}}\right)+{\frac {1}{4}}{\frac {x}{(1+x^{2})^{2}}}+c\end{aligned}}$