TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 233

Man berechne:

$\int {\frac {x^{2}+1}{(x-1)^{2}(x+1)^{2}}}dx$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Zuerst muss man den Term mittels Partialbruchzerlegung aufspalten. (Wie das geht kann man sich hier anschauen.)

Dadurch erhält man folgenden Ausdruck:

${\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{(x-1)^{2}}}dx+{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{(x+1)^{2}}}dx$

Anschließend substituiert man jeweils den Nenner durch:

$u=x-1\Rightarrow \int {\frac {1}{u^{2}}}du=-{\frac {1}{u}}\Rightarrow -{\frac {1}{x-1}}$

$v=x+1\Rightarrow \int {\frac {1}{v^{2}}}dv=-{\frac {1}{v}}\Rightarrow -{\frac {1}{x+1}}$

Eingesetzt in den vorherigen Ausdruck erhält man so:

${\frac {1}{2}}{\Bigl (}{\frac {-1}{x-1}}+{\frac {-1}{x+1}}{\Bigr )}+C={\frac {-2x}{2(x^{2}-1)}}+C={\frac {-x}{x^{2}-1}}+C$