TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 216

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Man berechne:


\int \frac {x^2 + 1}
{(x-1)^2 (x+1)^2}dx

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Zuerst muss man den Term mittels Partialbruchzerlegung aufspalten. (Wie das geht kann man sich hier anschauen.)

Dadurch erhält man folgenden Ausdruck:

\frac{1}{2}\int  \frac{1}{(x-1)^2}dx + \frac{1}{2}\int  \frac{1}{(x+1)^2}dx

Anschließend sustituiert man jeweils den Nenner durch:

u = x-1 \Rightarrow \int \frac{1}{u^2}du = -\frac{1}{u} \Rightarrow -\frac{1}{x-1}

v = x+1 \Rightarrow \int \frac{1}{v^2}dv = -\frac{1}{v} \Rightarrow -\frac{1}{x+1}

Eingesetzt in den vorherigen Ausdruck erhält man so:

\frac {1}{2} \Bigl( \frac{-1}{x-1} + \frac{-1}{x+1}\Bigr) + C = \frac{-2x}{2(x^2-1)} + C = \frac{-x}{x^2-1} + C