TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 233

Man berechne:

$\int \frac{x^2+1}{(x-1{)}^2(x+1{)}^2}dx$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag

Zuerst muss man den Term mittels Partialbruchzerlegung aufspalten. (Wie das geht kann man sich hier anschauen.)

Dadurch erhält man folgenden Ausdruck:

$\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x-1{)}^2}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{(x+1{)}^2}dx$

Anschließend substituiert man jeweils den Nenner durch:

$u=x-1\Rightarrow \int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}\Rightarrow -\frac{1}{x-1}$

$v=x+1\Rightarrow \int \frac{1}{v^2}dv=-\frac{1}{v}\Rightarrow -\frac{1}{x+1}$

Eingesetzt in den vorherigen Ausdruck erhält man so:

$\frac{1}{2}(\frac{-1}{x-1}+\frac{-1}{x+1})+C=\frac{-2x}{2(x^2-1)}+C=\frac{-x}{x^2-1}+C$