TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 239

Man berechne:

$\int {\frac {e^{x}}{e^{2x}-e^{x}-6}}\;dx$

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Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösungsvorschlag von leiwand

Substitution $u=e^{x}\,\,\,\,du/dx=e^{x}$

$\int {\frac {u}{u^{2}-u-6}}{\frac {du}{e^{x}}}$

Kürzen

$\int {\frac {1}{u^{2}-u-6}}\,du$

Nenner umschreiben

$\int {\frac {1}{(u+2)(u-3)}}\,du$

Partialbruchzerlegung

${\frac {A}{(u+2)}}+{\frac {B}{(u-3)}}=1$

$0=A+B$

$1=-3A+2B$

$A=-{\frac {1}{5}}\,\,B={\frac {1}{5}}$

Daraus folgt:

$-{\frac {1}{5}}\int {\frac {1}{(u+2)}}\,du+{\frac {1}{5}}\int {\frac {1}{(u-3)}}\,du=$

Nach Regel

$\int {\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx=ln|f(x)|$

$-{\frac {1}{5}}ln|u+2|+{\frac {1}{5}}ln|u-3|=$

Rücksubstitution

$-{\frac {1}{5}}ln|e^{x}+2|+{\frac {1}{5}}ln|e^{x}-3|$

Lösungsvorschlag von Lit

Achtung: Diese Lösung basiert auf den Vorschlägen von den unten verlinkten Integralrechnern. Die Substitutionsregel in der Form wie sie hier verwendet wird wird im Buch nicht formal definiert, sondern nur angewendet. (4. Auflage, S. 224, oben) Die Resultate stimmen zwar auch laut GeoGebra (WolframAlpha gibt eine andere Form mit komplexen Zahlen aus), ich kann aber überhaupt nicht garantieren, dass das an der Tafel so akzeptiert wird. Insbesondere habe ich hier das Gefühl, dass hier eine kürzere Lösung erwartet wird. Vielleicht ließe sich mit geschickter Substitution (um ein Grundintegral zu erhalten) die Partialbruchzerlegung ersparen. --Literallie (Diskussion) 18:57, 23. Mai 2018 (CEST)

Um das Beispiel anzugehen, stellen wir zunächst fest:

$\int {\frac {e^{x}}{e^{2x}-e^{x}-6}}\;dx=\int {\frac {e^{x}}{e^{x}\cdot e^{x}-e^{x}-6}}\;dx=\int f(x)\;dx$

Hier bietet es sich dann an, $u=e^{x}$ zu substituieren. Dafür berechnen wir auch die Ersetzung für $dx$:

$u=e^{x}\implies {\frac {du}{dx}}=\left(e^{x}\right)'\implies dx={\frac {1}{e^{x}}}\;du$

Das setzen wir jetzt in die oben umgeformte Angabe ein:

$\int \underbrace {\frac {u}{u^{2}-u-6}} _{f(x)}\cdot \underbrace {{\frac {1}{u}}\;du} _{dx}=\int {\frac {1}{u^{2}-u-6}}\;du$

Dieses Integral können wir mittels Partialbruchzerlegung auflösen. Dafür faktorisieren wir den Nenner:

$g(u)=u^{2}-u-6=0\implies u_{1,2}=-{\frac {-1}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {(-1)^{2}}{4}}-(-6)}}={\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {\frac {25}{4}}}={\frac {1}{2}}\pm {\frac {5}{2}}$

$u_{1}=3,\quad u_{2}=-2\implies g(u)=(u-3)(u+2)$

Die Partialbruchzerlegung ergibt sich also aus:

${\color {Gray}{\frac {1}{u^{2}-u-6}}=}{\frac {1}{(u-3)(u+2)}}={\frac {A}{u-3}}+{\frac {B}{u+2}}\qquad |\cdot (u-3)(u+2)$

$1=A(u+2)+B(u-3)$

$0u+1=(A+B)u+2A-3B$

Wir führen einen Koeefizientenvergleich durch:

$0=A+B\iff B=-A$

$1=2A-3B\iff 1+3B=2A$

Wenn wir jetzt die erste in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$1-3A=2A\iff 1=5A\iff A={\frac {1}{5}},\quad B=-{\frac {1}{5}}$

Damit ist die Partialbruchzerlegung fertig und wir können aufteilen:

$\int {\frac {1}{u^{2}-u-6}}\;du=\int {\frac {1}{5}}\cdot {\frac {1}{u-3}}\;du+\int -{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {1}{u+2}}\;du$

$={\frac {1}{5}}\left(\int {\frac {1}{u-3}}\;du-\int {\frac {1}{u+2}}\;du\right)$

Für das linke Integral ergibt sich durch Substitution von $v=u-3$:

$v=u-3\implies {\frac {dv}{du}}=(u-3)'=1\implies du={\frac {1}{1}}\;dv$

$\int \underbrace {\frac {1}{v}} _{\frac {1}{u-3}}\;\underbrace {dv} _{du}=\int {\frac {1}{v}}\;dv=\ln |v|+c$

Analog kann das für das rechte Integral gemacht werden, damit erhalten wir:

$\int {\frac {1}{u^{2}-u-6}}\;du={\frac {\ln |u-3|-\ln |u+2|}{5}}$

Durch Rückeinsetzen von $u=e^{x}$ folgt dann für das Endergebnis:

$\int {\frac {e^{x}}{e^{2x}-e^{x}-6}}\;dx={\frac {\ln |e^{x}-3|-\ln |e^{x}+2|}{5}}$

Links

• Dieses Beispiel im Integralrechner von SymboLab
• Integralrechner mit mehr Zwischenschritten