TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 225

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Man berechne:

\int\frac{(x-3)^{2}}{x^{-7/2}}\cdot dx

Lösung[Bearbeiten]

= \int \frac{(x-3)^2}{\frac{1}{x^{7/2}}} \cdot dx = \int (x-3)^2 \cdot x^{7/2} dx = \int (x^2-6x+9) \cdot x^{7/2} dx

= \int (x^{4/2}-6x^{2/2}+9) \cdot x^{7/2} dx = \int x^{11/2}-6x^{9/2}+9x^{7/2} dx

= \int x^{11/2} dx - 6\int x^{9/2} dx + 9\int x^{7/2} dx \rightarrow \left(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\right)

man darf das Integral aufteilen weil \rightarrow linear

= \frac{x^{\frac{13}{2}}}{\frac{13}{2}}-6 \cdot \frac{x^\frac{11}{2}}{\frac{11}{2}}+9 \cdot \frac{x^\frac{9}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{2x^\frac{13}{2}}{13}-\frac{12x^\frac{11}{2}}{11}+2x^\frac{9}{2}+C

hier könnte man dann noch 2x^{\frac{9}{2}} herausheben, ist aber nicht wirklich nötig. dann würde die endgültige lsg so aussehen:

\frac{2}{143} \cdot x^\frac{9}{2} \cdot (x(11x-78)+143)+C

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