TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 226

Aus VoWi
Wechseln zu: Navigation, Suche

Man berechne:

\int x \cdot (\ln{x})^2 \, dx

Hilfreiches[Bearbeiten]

Partielle Integration[Bearbeiten, WP, 5.41 Satz]

\int u\;dv=uv-\int v\;du

alias

\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)

Lösung[Bearbeiten]

Einfach ein par mal die Partielle Integration.

\int x \cdot (\ln{x})^2 \,dx

v(x) = \frac{1}{2} x^2 , u(x) =  \ln{x}^2

= \frac{1}{2} x^2 \cdot (\ln{x})^2 - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot 2 \frac{\ln{x}}{x} \,dx

= \frac{1}{2} x^2 \cdot (\ln{x})^2 - \int x \ln{x} \,dx

= \frac{1}{2} x^2 \cdot (\ln{x})^2 - \left( \frac{1}{2} x^2 \cdot \ln{x} - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} \,dx \right)

= \frac{1}{2} x^2 \cdot (\ln{x})^2 - \frac{1}{2} x^2 \cdot \ln{x} + \int \frac{1}{2} x \,dx

= \frac{1}{2} x^2 \cdot (\ln{x})^2 - \frac{1}{2} x^2 \cdot \ln{x} +  \frac{1}{4} x^2

dann noch das Ergebnis vereinfachen

= \frac{1}{4} x^2 (2(\ln{x} - 1)\ln{x} + 1)

Links[Bearbeiten]

WS07 Beispiel 46 http://inf.wikiserver.at/mathe2/index.php/SS08_Beispiel_52