TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 243

Man berechne:

$\int x\cdot (\ln x{)}^{2}dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Partielle_Integration

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$

Lösung

Einfach ein par mal die Partielle Integration.

$\int x\cdot (\ln x{)}^{2}dx$

$v(x)=\frac{1}{2}{x}^2$ , $u(x)=(\ln x{)}^2$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-\int \frac{1}{2}{x}^2\cdot 2\frac{\ln x}{x}dx$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-\int x\ln xdx$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-(\frac{1}{2}{x}^2\cdot \ln x-\int \frac{1}{2}{x}^2\cdot \frac{1}{x}dx)$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-\frac{1}{2}{x}^2\cdot \ln x+\int \frac{1}{2}xdx$

$=\frac{1}{2}{x}^2\cdot (\ln x{)}^2-\frac{1}{2}{x}^2\cdot \ln x+\frac{1}{4}{x}^2$

dann noch das Ergebnis vereinfachen

$=\frac{1}{4}{x}^2(2(\ln x-1)\ln x+1)$

Links

WS07 Beispiel 46 http://inf.wikiserver.at/mathe2/index.php/SS08_Beispiel_52