TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 248

Man berechne:

$\int {\frac {x^{2}+3}{2x^{2}+7}}\,dx$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Me.Name

erster schritt Paritalbruchzerlegung

$\ x^{2}+3$ : $\ 2x^{2}+7={\frac {1}{2}}-{\frac {\frac {1}{2}}{2x^{2}+7}}$

Das $\ -{\frac {\frac {1}{2}}{2x^{2}+7}}$ ist einfach der Rest(-1/2) / Divisor der Partialbruchzerlegung (<\math> {2x^2+7} </math>.

Neu anschreiben:

=> $\ \int {\frac {x^{2}+3}{2x^{2}+7}}dx=\int {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2*(2x^{2}+7)}}dx$

=> $\ {\frac {1}{2}}\int 1dx-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{2x^{2}+7}}dx$

____________________________________________

So jetzt sollte man wissen:

$\int {\frac {1}{x^{2}+1}}=arctan(x)$ und

$\int {\frac {1}{2x^{2}+1}}={\frac {arctan({\sqrt {2}}x)}{\sqrt {2}}}$

$\int {\frac {1}{x^{2}+7}}={\frac {arctan({\frac {x}{\sqrt {7}}})}{\sqrt {7}}}$

Somit ergibt:

$\int {\frac {1}{2x^{2}+7}}={\frac {arctan({\frac {{\sqrt {2}}*x}{\sqrt {7}}})}{{\sqrt {2}}*{\sqrt {7}}}}={\frac {arctan({\frac {{\sqrt {2}}*x}{\sqrt {7}}})}{\sqrt {14}}}$

_________________________________________________

Wieder eingesetz ergibt das:

$\ {\frac {1}{2}}\int 1dx-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{2x^{2}+7}}dx=$

${\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {arctan({\frac {{\sqrt {2}}*x}{\sqrt {7}}})}{2*{\sqrt {14}}}}+C$