TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 231

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Man berechne:

\int \frac {x^2+3} {2x^2+7}\,dx

Lösungsvorschlag von Me.Name[Bearbeiten]

erster schritt Paritalbruchzerlegung

\ x^2+3 : \ 2x^2+7 = \frac 12 -\frac{\frac 12} {2x^2+7}

Das \ -\frac{\frac 12} {2x^2+7} ist einfach der Rest(-1/2) / Divisor der Partialbruchzerlegung (<\math> {2x^2+7} </math>.

Neu anschreiben:

=> \ \int\frac {x^2+3} {2x^2+7} dx = \int \frac12 - \frac 1 {2*(2x^2+7)} dx

=> \ \frac12\int 1 dx - \frac 12 \int \frac 1 {2x^2+7} dx

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So jetzt sollte man wissen:

 \int \frac 1{x^2+1} = arctan(x) und

 \int \frac 1{2x^2+1} = \frac {arctan(\sqrt{2}x)} {\sqrt{2}}

 \int \frac 1{x^2+7} = \frac {arctan(\frac {x}{\sqrt{7}})} {\sqrt{7}}

Somit ergibt:

 \int \frac 1{2x^2+7} = \frac {arctan(\frac {\sqrt{2}*x}{\sqrt{7}})} {\sqrt{2} * \sqrt{7}} = \frac {arctan(\frac {\sqrt{2}*x}{\sqrt{7}})} {\sqrt{14}}

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Wieder eingesetz ergibt das:

\ \frac12\int 1 dx - \frac 12 \int \frac 1 {2x^2+7} dx =

 \frac {x^2}4 - \frac {arctan(\frac {\sqrt{2}*x}{\sqrt{7}})} {2*\sqrt{14}} + C