TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 248

Man berechne:

$\int \frac{x^2+3}{2x^2+7}dx$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Me.Name

erster schritt Paritalbruchzerlegung

$x^2+3$ : $2x^2+7=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2x^2+7}$

Das $-\frac{\frac{1}{2}}{2x^2+7}$ ist einfach der Rest(-1/2) / Divisor der Partialbruchzerlegung (<\math> {2x^2+7} </math>.

Neu anschreiben:

=> $\int \frac{x^2+3}{2x^2+7}dx=\int \frac{1}{2}-\frac{1}{2\ast (2x^2+7)}dx$

=> $\frac{1}{2}\int 1dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{2x^2+7}dx$

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So jetzt sollte man wissen:

$\int \frac{1}{x^2+1}=arctan(x)$ und

$\int \frac{1}{2x^2+1}=\frac{arctan(\sqrt{2}x)}{\sqrt{2}}$

$\int \frac{1}{x^2+7}=\frac{arctan(\frac{x}{\sqrt{7}})}{\sqrt{7}}$

Somit ergibt:

$\int \frac{1}{2x^2+7}=\frac{arctan(\frac{\sqrt{2}\ast x}{\sqrt{7}})}{\sqrt{2}\ast \sqrt{7}}=\frac{arctan(\frac{\sqrt{2}\ast x}{\sqrt{7}})}{\sqrt{14}}$

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Wieder eingesetzt ergibt das:

$\frac{1}{2}\int 1dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{2x^2+7}dx=$

$\frac{x}{2}-\frac{arctan(\frac{\sqrt{2}\ast x}{\sqrt{7}})}{2\ast \sqrt{14}}+C$