TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 239

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man berechne

\int_0^{\frac{\pi}{2}} x^2 * cos^2(x) dx

Lösungsvorschlag von Lunar[Bearbeiten]

Vorwissen[Bearbeiten]

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

cos(2x) = cos^2(x) - ( 1 - cos^2(x) )

cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

\frac{cos(2x) + 1}{2} = cos^2(x)

Lösung[Bearbeiten]

\int x^2*cos^2(x) dx =

=\int x^2 * (\frac {1}{2}+ \frac{cos(2x)}{2}) dx =

=x^2 * (\frac{x}{2} + \frac{sin(2x)}{4}) - \int 2x * (\frac{x}{2}+ \frac{sin(2x)}{4} dx)

=\frac{x^3}{2} + \frac{x^2*sin(2x)}{4} - ( \frac{x^3}{3} + \int \frac{x*sin(2x)}{2} dx )

=\frac{x^3}{2} + \frac{x^2*sin(2x)}{4} - \frac{x^3}{3} - \frac{1}{2} * ( \frac{-cos(2x)*x}{2} - \int - \frac{cos(2x)}{2} dx)

=\frac{x^3}{2} + \frac{x^2*sin(2x)}{4} - \frac{x^3}{3} - \frac{1}{2} * ( \frac{-cos(2x)*x}{2} + \frac{sin(2x)}{4})

=\frac{x^3}{6} + \frac{x^2*sin(2x)}{4} + \frac{x*cos(2x)}{4} - \frac{sin(2x)}{8}

Fehler ausgebessert Klammer wurde falsch aufgelöst und somit stimmte eine Bruchzahl und eine Vorzeichen nicht! pknoe3lh

Links[Bearbeiten]

Ähnliche Beispiele[Bearbeiten]