TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 256

Man berechne
$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x^{2}*cos^{2}(x)dx$

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Lunar[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorwissen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$

$cos(2x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)$

$cos(2x)=cos^{2}(x)-(1-cos^{2}(x))$

$cos(2x)=2cos^{2}(x)-1$

${\frac {cos(2x)+1}{2}}=cos^{2}(x)$

Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$\int x^{2}*cos^{2}(x)dx=$

$=\int x^{2}*({\frac {1}{2}}+{\frac {cos(2x)}{2}})dx=$

$=x^{2}*({\frac {x}{2}}+{\frac {sin(2x)}{4}})-\int 2x*({\frac {x}{2}}+{\frac {sin(2x)}{4}}dx)$

$={\frac {x^{3}}{2}}+{\frac {x^{2}*sin(2x)}{4}}-({\frac {x^{3}}{3}}+\int {\frac {x*sin(2x)}{2}}dx)$

$={\frac {x^{3}}{2}}+{\frac {x^{2}*sin(2x)}{4}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{2}}*({\frac {-cos(2x)*x}{2}}-\int -{\frac {cos(2x)}{2}}dx)$

$={\frac {x^{3}}{2}}+{\frac {x^{2}*sin(2x)}{4}}-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{2}}*({\frac {-cos(2x)*x}{2}}+{\frac {sin(2x)}{4}})$

$={\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{2}*sin(2x)}{4}}+{\frac {x*cos(2x)}{4}}-{\frac {sin(2x)}{8}}$