TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 240

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Man berechne:

\int_1^2 \left(\frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}\right)\,\mathrm dx

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

Trick benutzt wie in Beispiel 2 \int \frac{u'(x)}{u(x)} dx ) = ln ( |u(x)| ) + C


\begin{align}
\int_1^2 \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^2}\,\mathrm dx
&= \int_1^2 \frac{1}{x}\,\mathrm dx - \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{2x}{1+x^2}\,\mathrm dx \\
&= \left. \ln |x| \right|_1^2 - \frac{1}{2} \left. \ln |1+x^2| \right|_1^2 \\
&= \ln |2| - \ln |1| - \frac{1}{2} \ln |1+2^2| + \frac{1}{2} \ln |1+1^2| \\
&= \ln |2| - 0 - \frac{1}{2} \ln |5| + \frac{1}{2} \ln |2| \\
&= \frac{3}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 5 \approx 0.235
\end{align}