TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 257

Man berechne:

${\int }_1^2(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2})\mathrm{d}x$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Trick benutzt wie in Beispiel 2 $\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx)=ln(|u(x)|)+C$

$\begin{array}{cc}{\int }_1^2\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\mathrm{d}x& ={\int }_1^2\frac{1}{x}\mathrm{d}x-\frac{1}{2}{\int }_1^2\frac{2x}{1+x^2}\mathrm{d}x\\ & ={\ln |x||}_1^2-\frac{1}{2}{\ln |1+x^2||}_1^2\\ & =\ln |2|-\ln |1|-\frac{1}{2}\ln |1+2^2|+\frac{1}{2}\ln |1+1^2|\\ & =\ln |2|-0-\frac{1}{2}\ln |5|+\frac{1}{2}\ln |2|\\ & =\frac{3}{2}\ln 2-\frac{1}{2}\ln 5\approx 0.235\end{array}$