TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 258

Man berechne:

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x\mathrm{d}x$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}x\mathrm{d}x& =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2{\cos }^{2}x\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1+\cos (2x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1\mathrm{d}x+\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos (2x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1\mathrm{d}x+\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2\cos (2x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{x|}_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{4}{\sin (2x)|}_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & =\frac{\pi }{4}-\frac{0}{2}+\frac{\sin \frac{2\pi }{2}}{4}-\frac{\sin 0}{4}\\ & =\frac{\pi }{4}-0+0-0\\ & =\frac{\pi }{4}\\ \end{array}$