TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 258

Man berechne:

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}x\,\mathrm {d} x$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}x\,\mathrm {d} x&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}2\cos ^{2}x\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}1+\cos(2x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}1\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos(2x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}1\,\mathrm {d} x+{\frac {1}{4}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}2\cos(2x)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\left.x\right|_{0}^{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{4}}\left.\sin(2x)\right|_{0}^{\frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi }{4}}-{\frac {0}{2}}+{\frac {\sin {\frac {2\pi }{2}}}{4}}-{\frac {\sin 0}{4}}\\&={\frac {\pi }{4}}-0+0-0\\&={\frac {\pi }{4}}\\\end{aligned}}$