TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 242

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Man berechne:

\int_0^\frac{\pi}{4} \tan^2 x \,\mathrm dx

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

\begin{align}
\int_0^\frac{\pi}{4} \tan^2 x \,\mathrm dx
&= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \,\mathrm dx \\
&= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} \,\mathrm dx \\
&= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \,\mathrm dx \\
&= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{1}{\cos^2 x} \,\mathrm dx - \int_0^\frac{\pi}{4} 1 \,\mathrm dx \\
&= \left. \tan x \right|_0^\frac{\pi}{4} - \left. x \right|_0^\frac{\pi}{4} \\
&= \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 - \frac{\pi}{4} + 0 \\
&= 1 - 0 - \frac{\pi}{4} + 0 \\
&= 1 - \frac{\pi}{4}
\end{align}