TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 259

Man berechne:

$\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{2}x\,\mathrm {d} x$

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Lösungsvorschlag

${\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan ^{2}x\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{\cos ^{2}x}}-1\,\mathrm {d} x\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,\mathrm {d} x-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}1\,\mathrm {d} x\\&=\left.\tan x\right|_{0}^{\frac {\pi }{4}}-\left.x\right|_{0}^{\frac {\pi }{4}}\\&=\tan {\frac {\pi }{4}}-\tan 0-{\frac {\pi }{4}}+0\\&=1-0-{\frac {\pi }{4}}+0\\&=1-{\frac {\pi }{4}}\end{aligned}}$