TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 255

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Man berechne:

\int\limits_1^\infty \frac {\ln{x}} xdx

Lösungsvorschlag von Me.Name[Bearbeiten]

Dieses Integral ist nur an der Obergrenze(\infty) uneigentlich, deshalb muss keine Aufteilung gemacht werden. Den Majorantenspaß können wir uns auch schenken, da sich das Integral schön lösen lässt.

\int\limits_1^B \frac {\ln{x}} xdx

mit Substitution:

u=\ln{x} ; \frac {du}{dx} = u' = \frac 1x => dx=\frac {du}{\frac 1x} = xdu

=> \int\limits_1^B \frac ux *x*du = \int\limits_1^B u du =

\lim\limits_{B\to\infty}\int\limits_1^B u du = \frac {u^2}2 = \frac {(\ln{x})^2}2|_1^B = \frac {(\ln{(B)})^2}2 - \frac {(\ln{(1)})^2}2 = \infty - \frac 02 = \infty

=> Divergent

-- Stampi 20:19, 19. Jun. 2012 (CEST) Fehler korrigiert