TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 280

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Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).

Hinweis: Entwickeln sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviel Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?

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oder

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SS 08 Beispiel 57[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lösungsvorschlag von Oliver[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Entwickeln der Taylorreihe von als Grundlage:









ab hier wiederholt sich das Ganze wieder

ergibt von der Stelle 0 weg:


Einsetzen der ursprünglichen Angabe in die Taylorreihenentwicklung vom sinus ergibt:

jetzt kann man die einzelnen Terme getrennt integrieren:

1. Term:

2. Term:

3. Term:

4. Term: (vernachlässigbar)


Diese Näherung ist auf 3 Dezimalstellen noch nicht ausreichend genau.

Näherung für 3 Dezimalstellen Genauigkeit reicht in dem Fall mit 3 Taylor-Polynome:

Vergleich mit genauerer Näherung:


Lösung mittels TI Voyage 200:

-> obige Lösung ist daher mit 3 Termen ausreichend.

Lösung SS08[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

lt Prof Urbanek

Die Taylorreihe für

x wird dann durch u² ersetzt und die Reihe sieht dann wie folgt aus:

Die einzelnen Terme sind dann nacheinander wie folgt zu integrieren:

ausgewertet bei 0 sind alle Terme 0, bei 1 ausgewertet sind sie

Die ersten 3 Terme ergeben 0,473, nun müßte noch der Fehler abgeschätzt werden.

Der Wert konvergiert zwischen und

bzw. der Fehler zwischen und ist kleiner als 0,00014, somit paßt 0,473 und 3 Terme reichen.

Hapi

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sinus,Kosinus, Taylorreihe

Taylorreihe, trigonometrische Funktionen

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