TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 280

Bestimmen Sie den Wert der folgenden Integrale näherungsweise auf 3 Dezimalstellen (ohne und mit Computer).

${\int }_0^1\frac{sin(u^2)}{u}du$

Hinweis: Entwickeln sie den Integranden in eine Taylorreihe. Wieviel Terme sind nötig, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen?

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}}

oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Lösungsvorschlag von Oliver

Entwickeln der Taylorreihe von $sin(x)$ als Grundlage:

$f(x)=sin(x)$
$f(0)=0$
$f^{\prime }(x)=cos(x)$
$f^{\prime }(0)=1$
$f^{″}(x)=-sin(x)$
$f^{″}(0)=0$
$f^{‴}(x)=-cos(x)$
$f^{‴}(0)=-1$
$f^{⁗}(x)=sin(x)$ ab hier wiederholt sich das Ganze wieder
$f^{⁗}(0)=0$

ergibt von der Stelle 0 weg:

$sin(x)=f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}(x-0)+\frac{f^{″}(0)}{2!}(x-0{)}^2+\frac{f^{‴}(0)}{3!}(x-0{)}^3+\mathrm{...}=$

$sin(x)=0+\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-+\mathrm{...}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

---

Einsetzen der ursprünglichen Angabe in die Taylorreihenentwicklung vom sinus ergibt:

$\frac{sin(u^2)}{u}=\frac{u}{1!}-\frac{u^5}{3!}+\frac{u^9}{5!}-\frac{u^{13}}{7!}+\mathrm{...}$

jetzt kann man die einzelnen Terme getrennt integrieren:

1. Term: ${\int }_0^1\frac{u}{1!}du=\frac{1}{2}=0.5$

2. Term: ${\int }_0^1-\frac{u^5}{3!}du=-\frac{1}{36}=-0.0277777$

3. Term: ${\int }_0^1\frac{u^9}{5!}du=\frac{1}{1200}=0.000833$

4. Term: ${\int }_0^1-\frac{u^{13}}{7!}du=-\frac{1}{70560}=-0.000014$ (vernachlässigbar)

---

${\int }_0^1(\frac{u}{1!}-\frac{u^5}{3!})du=0.472222\approx 0.472$ Diese Näherung ist auf 3 Dezimalstellen noch nicht ausreichend genau.

Näherung für 3 Dezimalstellen Genauigkeit reicht in dem Fall mit 3 Taylor-Polynome:

${\int }_0^1(\frac{u}{1!}-\frac{u^5}{3!}+\frac{u^9}{5!})du=0.473056\approx 0.473$

Vergleich mit genauerer Näherung:

${\int }_0^1(\frac{u}{1!}-\frac{u^5}{3!}+\frac{u^9}{5!}-\frac{u^{13}}{7!})du=0.473041\approx 0.473$

---

Lösung mittels TI Voyage 200:

${\int }_0^1\frac{sin(u^2)}{u}du=0.473042$

-> obige Lösung ist daher mit 3 Termen ausreichend.

Lösung SS08

lt Prof Urbanek

Die Taylorreihe für $sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}\mathrm{...}$

x wird dann durch u² ersetzt und die Reihe sieht dann wie folgt aus:

$\frac{sin(u^2)}{u}=\frac{u^2-\frac{u^6}{3!}+\frac{u^{10}}{5!}-\frac{u^{14}}{7!}+\frac{u^{18}}{9!}\mathrm{...}}{u}=u-\frac{u^5}{3!}+\frac{u^9}{5!}-\frac{u^{13}}{7!}+\frac{u^{17}}{9!}\mathrm{...}$

Die einzelnen Terme sind dann nacheinander wie folgt zu integrieren:

$\frac{u^2}{2}-\frac{u^6}{6\ast 3!}+\frac{u^{10}}{10\ast 5!}-\frac{u^{14}}{14\ast 7!}+\frac{u^{18}}{18\ast 9!}\mathrm{...}$

ausgewertet bei 0 sind alle Terme 0, bei 1 ausgewertet sind sie

$\frac{1}{2}-\frac{1}{6\ast 3!}+\frac{1}{10\ast 5!}-\frac{1}{14\ast 7!}+\frac{1}{18\ast 9!}\mathrm{...}$

Die ersten 3 Terme ergeben 0,473, nun müßte noch der Fehler abgeschätzt werden.

Der Wert konvergiert zwischen $\frac{1}{2}$ und $\frac{1}{2}-\frac{1}{6\ast 3!}$

bzw. der Fehler zwischen $\frac{1}{14\ast 7!}$ und $\frac{1}{14\ast 7!}-\frac{1}{18\ast 9!}$ ist kleiner als 0,00014, somit paßt 0,473 und 3 Terme reichen.

Hapi

Links

Sinus,Kosinus, Taylorreihe

Taylorreihe, trigonometrische Funktionen

Informatik-Forum Informatik-Forum Beispiel 57 SS08