TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 27

Man untersuche die Folge $a_n$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n\ge 0$.

$a_0=1/2,a_{n+1}=\sqrt[3]{2a_n-1}\mathrm{\forall }n\ge 0$

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Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Monotonie

Da die Folge offensichtlich fällt, wollen wir streng monotones Fallen beweisen, also: $a_{n+1}<a_n$

I.A.: $a_0=\mathrm{0,5}:\sqrt[3]{2\cdot \mathrm{0,5}-1}\le \mathrm{0,5}$

I.S.: $a_{n+1}<a_n\Rightarrow a_{n+2}<a_{n+1}$

$\begin{array}{cc}{a}_{n+2}& <a_{n+1}\\ \sqrt[3]{2a_{n+1}-1}& <\sqrt[3]{2a_n-1}& & |{}^3\\ 2a_{n+1}-1& <2a_n-1& & |+1/2\\ a_{n+1}& <a_n\end{array}$

Q.E.D.

Beschränktheit

Angenommen es gibt eine untere Schranke $u\le a_n\le \mathrm{0,5}$.

I.A.: $u\le \mathrm{0,5}$

I.S.: $u\le a_n\Rightarrow u\le a_{n+1}$

$\begin{array}{cc}u& \le a_{n+1}\\ u& \le \sqrt[3]{2a_n-1}& & |{}^3\\ u^3& \le 2a_n-1& & |+1/2\\ \frac{u^3+1}{2}& \le a_n\end{array}$

Um beim Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung zu erhalten muss $u=\frac{u^3+1}{2}$ sein.

$\begin{array}{cccc}& \frac{u^3+1}{2}& =u& |-u\\ & \frac{u^3+1}{2}-u& =0& |\cdot 2\\ & u^3-2u+1& =0\end{array}$

Diese Gleichung lässt sich durch Erkennen der Eins als eine Lösung, Polynomdivision (durch $(x-1)$) und einer Lösungsformel lösen.

$u_1=1,u_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2},u_3=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Nur $u_3$ ist kleiner als 0,5 und daher eine untere Schranke.

Da für alle $u>u_3$ nicht I.A. und I.S. erfüllt sind, ist $u_3$ das Infimum (dies müsste eventuell noch besser erklärt werden) und dementsprechend auch der Grenzwert (siehe Satz 4.12).