TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 27

From VoWi
Jump to navigation Jump to search

Man untersuche die Folge  a_n (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert  \lim_{n\to\infty}a_n . Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle  n \geq 0 .

a_0=1/2,a_{n+1}=\sqrt[3]{2a_n-1} \qquad \forall n\geq0

Hilfreiches[edit]

Vollständige Induktion
Vollständige Induktion[Bearbeiten, WP]
  1. Induktionsanfang (IA)
  2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) \Rarr Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker[edit]

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Monotonie[edit]

Da die Folge offensichtlich fällt, wollen wir streng monotones Fallen beweisen, also: a_{n+1} < a_n

I.A.: a_0=0{,}5\colon \sqrt[3]{2 \cdot 0{,}5 - 1} \le 0{,}5

I.S.: a_{n+1} < a_n \Rarr a_{n+2} < a_{n+1}


\begin{align}
a_{n+2} &< a_{n+1}\\
\sqrt[3]{2a_{n+1}-1} &< \sqrt[3]{2a_n-1} && |\;^3\\
2a_{n+1}-1 &< 2a_n-1 && |\;{+}1 \;\; /2\\
a_{n+1} &< a_n
\end{align}

Q.E.D.

Beschränktheit[edit]

Angenommen es gibt eine untere Schranke u \le a_n \le 0{,}5.

I.A.: u \le 0{,}5

I.S.: u \le a_n \Rarr u \le a_{n+1}


\begin{align}
u &\le a_{n+1}\\
u &\le \sqrt[3]{2a_n-1} && |\;^3\\
u^3 &\le 2a_n-1 && |\;{+}1 \;\; /2\\
\frac{u^3 + 1}{2} &\le a_n
\end{align}

Um beim Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung zu erhalten muss u = \frac{u^3 + 1}{2} sein.


\begin{align}
&\frac{u^3 + 1}{2}     &= u &\quad| -u\\
&\frac{u^3 + 1}{2} - u &= 0 &\quad| \cdot 2\\
&u^3 - 2u + 1 &= 0
\end{align}

Diese Gleichung lässt sich durch Erkennen der Eins als eine Lösung, Polynomdivision (durch (x-1)) und einer Lösungsformel lösen.

u_1 = 1, u_2 = \frac{\sqrt 5 - 1}{2}, u_3 = - \frac{1+\sqrt 5}{2}

Nur u_3 ist kleiner als 0,5 und daher eine untere Schranke.

Da für alle u > u_3 nicht I.A. und I.S. erfüllt sind, ist u_3 das Infimum (dies müsste eventuell noch besser erklärt werden) und dementsprechend auch der Grenzwert (siehe Satz 4.12).