TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 27

Man untersuche die Folge $a_{n}$ (mit Hilfe vollständiger Induktion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimme gegebenenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert $\lim _{n\to \infty }a_{n}$. Überlegen Sie sich auch, warum die Folge wohldefiniert ist für alle $n\geq 0$.

$a_{0}=1/2,a_{n+1}={\sqrt[{3}]{2a_{n}-1}}\qquad \forall n\geq 0$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

✅ Bestätigt von Clemens Müllner (SS19)

Monotonie

Da die Folge offensichtlich fällt, wollen wir streng monotones Fallen beweisen, also: $a_{n+1}<a_{n}$

I.A.: $a_{0}=0{,}5\colon {\sqrt[{3}]{2\cdot 0{,}5-1}}\leq 0{,}5$

I.S.: $a_{n+1}<a_{n}\Rightarrow a_{n+2}<a_{n+1}$

${\begin{aligned}a_{n+2}&<a_{n+1}\\{\sqrt[{3}]{2a_{n+1}-1}}&<{\sqrt[{3}]{2a_{n}-1}}&&|\;^{3}\\2a_{n+1}-1&<2a_{n}-1&&|\;{+}1\;\;/2\\a_{n+1}&<a_{n}\end{aligned}}$

Q.E.D.

Beschränktheit

Angenommen es gibt eine untere Schranke $u\leq a_{n}\leq 0{,}5$.

I.A.: $u\leq 0{,}5$

I.S.: $u\leq a_{n}\Rightarrow u\leq a_{n+1}$

${\begin{aligned}u&\leq a_{n+1}\\u&\leq {\sqrt[{3}]{2a_{n}-1}}&&|\;^{3}\\u^{3}&\leq 2a_{n}-1&&|\;{+}1\;\;/2\\{\frac {u^{3}+1}{2}}&\leq a_{n}\end{aligned}}$

Um beim Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung zu erhalten muss $u={\frac {u^{3}+1}{2}}$ sein.

${\begin{aligned}&{\frac {u^{3}+1}{2}}&=u&\quad |-u\\&{\frac {u^{3}+1}{2}}-u&=0&\quad |\cdot 2\\&u^{3}-2u+1&=0\end{aligned}}$

Diese Gleichung lässt sich durch Erkennen der Eins als eine Lösung, Polynomdivision (durch $(x-1)$) und einer Lösungsformel lösen.

$u_{1}=1,u_{2}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},u_{3}=-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Nur $u_{3}$ ist kleiner als 0,5 und daher eine untere Schranke.

Da für alle $u>u_{3}$ nicht I.A. und I.S. erfüllt sind, ist $u_{3}$ das Infimum (dies müsste eventuell noch besser erklärt werden) und dementsprechend auch der Grenzwert (siehe Satz 4.12).