TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 304

Man zeige, dass eine Menge $O\subseteq {ℝ}^2$ bzgl. der Euklidischen Metrik $d_2$ offen ist genau dann, wenn $O$ offen ist bzgl. der Summen-Metrik $d_1$.

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Hilfreiches

Offene Menge

Offene Menge

Eine Menge $D\subseteq {ℝ}^n$ heißt offen, wenn aus $x\in D$ folgt, dass es eine Umgebung $U_e(x)$ gibt mit $U_e(x)\subseteq D$.

Euklidische Distanzen

$d_1((x_1,x_2),(y_1,y_2))=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$

$d_2((x_1,x_2),(y_1,y_2))=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2}$

Lösungsvorschlag von DerPizzabäcker

Zuerst einmal schreiben wir die Angabe nochmal als Formel auf:

$x\in O⟹\mathrm{\exists }{U}_e(x)\subseteq O⟺x\in O⟹\mathrm{\exists }{U}_d(x)\subseteq O$ wobei $U_e$ von d2 abhängt und $U_d$ von d1.

Die Aussage $\mathrm{\exists }{U}_e(x)$ kann man auch als $\mathrm{\exists }y\in O,e>0:d_2(x,y)<e$ anschreiben. (Also es existiert ein y in einer epsilon Umgebung). Wenn wir nun zeigen, dass $\mathrm{\exists }y\in O,e>0:d_2(x,y)<e$ und $\mathrm{\exists }y\in O,d>0:d_1(x,y)<d$ äquivalent sind, so sind auch die ursprünglichen Formeln äquivalent. Dazu formen wir beide Ausdrücke so um, dass sie ähnlich ausschauen:

$\begin{array}{cc}& d_2(x,y)<e\\ ⟺& \sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2}<e\\ ⟺& (x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2<e^2\end{array}$

$\begin{array}{cc}& d_1(x,y)<d\\ ⟺& |x_1-y_1|+|x_2-y_2|<d\\ ⟺& (x_1-y_1{)}^2+2\cdot |x_1-y_1|\cdot |x_2-y_2|+(x_2-y_2{)}^2<d^2\\ ⟺& (x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2<d^2-2\cdot |x_1-y_1|\cdot |x_2-y_2|\end{array}$

Hier sieht man, dass die beiden Aussagen auf der linken Seite ident sind, aber auf der rechten etwas unterschiedlich. Wenn wir nun $e^2=d^2-2\cdot |x_1-y_1|\cdot |x_2-y_2|$ wählen sind sie ident.

--DerPizzabäcker 09:01, 12. Jun. 2019 (CEST)